ユニバーサルフロンティア理論による宇宙【第二章 数学基礎】（１）

《対角線論法》

　実数を連続体と見なしてあらゆる無限少数を実数とした場合に、その集合を可算濃度と見なして可算性Ｐを仮定すると、反例として非可附番数ωが見出されるというのがカントールによる実数の非可算性の証明である。これは可算性Ｐが反証されて非可算性￢Ｐに変わることが証明だという実例であり、論理学公理からＰ⇒Ｐさらに反証によってＰ⇒￢ＰであることからＰ∧￢Ｐで、この矛盾は実数連続体にＰを仮定してことが原因であるから￢Ｐが証明される、というものである。このことがゲーデル命題に関する論証と多少なりとも似ているということもまた特筆すべきことであるように思われてならない。
　このωを無限集合を相手にした場合にたった一つの反例であり過ぎるという思想は当然生じてきて超現順序数となっている。

（超現順序数列）＝｛ω・ω＋１・ω＋２・・２ω・・ｎω・・ω²・・ω^n・・ω^ω・・｝

このように延々と続く数列になる。この順序列を無限大から先であるように基礎づけた超準解析学がロビンソンによる非標準解析だったのではないか、そしてωを有限であるが非標準的な数と定義したのがネルソンによる内部集合論だったと察せられる、後者の場合には標準解析による証明の場合の十分に大きな数Ｎの扱いと若干は似ることになる。
　あるいは、

（自然数列）＝｛１・２・３・・ｎ・・ω｝（ωはすべての自然数を含む集合）

てな、定義になっていたりする。この場合には０＝φに続いて１＝｛φ｝，２＝｛φ｛φ｝｝，３＝｛φ｛φ｛φ｝｝｝・・and so on. であるか、あるいは１＝｛０｝，２＝｛０,１｝，３＝｛０,１,２｝・・and so on. という定義になっていたりする。であるから「すべての自然数を要素とする集合とはωのこと」ということになってしまうのだ。
　しかし、私としては思う、実数連続体が可算濃度であるという仮定の下に出てきたωという数は架空の物ではないのか？
　架空の数を基礎に据えるわけにもいかない、それにラッセルの逆理ということを回避解消したいのならば、私には別の方策がある。


《集合はべき集合濃度》

　選択公理の代わりとして私が選んでみたのは『部分集合公理』ともいうべき「集合の要素から一度に任意の個数あるいは濃度の要素を取り出すことができる」「集合はその可能性のある集合のすべてを要素の数あるいは濃度としていい」「集合の集合という概念は単一要素集合以外には禁じることとする」などである。こうやってべき集合という存在を数学の世界において芙蓉にすることだできる。そして単一要素集合に関して１＝｛１｝，２＝｛２｝などにする、こうやって順序数的な自然数の定義を回避した上で、ラッセルのパラドクスを部分集合公理と共に回避（あらゆる集合は己自身を含んでいることになる）させ、集合のすべては己自身を含んでいることに規定できるのである。
　これを選択公理の代わりにしなければならないというのは「集合の集合」を基本的には禁じなくてはならないからだが、これを第一案として工夫してゆけば何とかなるという気はする。


《空集合は０と１の定義》

　ユニバーサルフロンティア理論では空集合とはインフレーション宇宙の素領域といった意味合いを持ち、そしてφ＝｛φ｝という意味を持つ量子数の一種でもある。φは前自然数と言って良い存在であり、算術的に計算すれば１/２なんだが、宇宙開闢時には数字はなかったと考えるユニバーサルフロンティア理論に従えばφであり｛φ｝であるとしか言えない。

その定式は、

φ＋φ＝１　および　φ－φ＝０　そして後に　φ＝｛φ｝＝（|０〉＋|１〉）／√2

さて、これ以後は物理学だが、その前に解析学をちゃんとしておきたい・・。