ゲーデルの定義とは無関係に命題Ｇから始めてみましょうか？
「Ｇが証明できる」⇒Ｇ
⇔
「Ｇが証明できない」∨Ｇ
後半はexclusiveではないですから、その可能性に賭けての Ｇ「Ｇは証明できない」 という定義は、そりゃ不可能ではないですｗ）
ここで ￢Ｇ「Ｇは証明できる」 としましたら、両者が（私が言うところの）クォーク命題になってしまいまして、中間子文たる Ｇ∧￢Ｇ「Ｇは証明できない物がＧであって証明できる物はＧとは言わない」 となります。
これが（中間子の持つ性質のように）かならず短時間で崩壊するとしましたら
その崩壊先は、
「ゆえにＧは証明できない」と「そのＧとは数学の無矛盾性である」でしょうか？
ゲーデルは「Ｇは数学命題である」にしても「Ｇは数学の無矛盾性である」もいずれも証明しておりますから、トータルとして「数学の無矛盾性であるゲーデル命題が数学体系内に含まれていることを発見した」ということになるんです。
Ｇ∧￢Ｇを翻訳して《不完全性定理》だというのは名折れではなかったでしょーかね？
「ゆえに数学は無矛盾である」（buturikyouiku）
「Ｇが証明できる」⇒Ｇ
⇔
「Ｇが証明できない」∨Ｇ
後半はexclusiveではないですから、その可能性に賭けての Ｇ「Ｇは証明できない」 という定義は、そりゃ不可能ではないですｗ）
ここで ￢Ｇ「Ｇは証明できる」 としましたら、両者が（私が言うところの）クォーク命題になってしまいまして、中間子文たる Ｇ∧￢Ｇ「Ｇは証明できない物がＧであって証明できる物はＧとは言わない」 となります。
これが（中間子の持つ性質のように）かならず短時間で崩壊するとしましたら
その崩壊先は、
「ゆえにＧは証明できない」と「そのＧとは数学の無矛盾性である」でしょうか？
ゲーデルは「Ｇは数学命題である」にしても「Ｇは数学の無矛盾性である」もいずれも証明しておりますから、トータルとして「数学の無矛盾性であるゲーデル命題が数学体系内に含まれていることを発見した」ということになるんです。
Ｇ∧￢Ｇを翻訳して《不完全性定理》だというのは名折れではなかったでしょーかね？
「ゆえに数学は無矛盾である」（buturikyouiku）
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これじゃ❝そのまんま❞だよなあ～ｗ）
だから広く一般に伝わっている不完全性定理の文というのは「Ｇ∧￢Ｇと同値な中間子命題」だという気がしてきたぞ！
⇔
「Ｇが証明できない」∨Ｇ
⇔
Ｇ∨Ｇ
⇔
Ｇ
つまり
（「Ｇが証明できる」⇒Ｇ）⇔Ｇ
つまりＧの証明からＧと結論できるのは
Ｇつまり「Ｇの証明が存在しない」が
真であるとき、そのときに限られる。
Ｇの証明が存在すれば、
Ｇの証明からＧだと結論できない
そしてその理由は、Ｇの証明と呼ばれるものが
実はあるモデルの中でのみ存在するものであって
モデルに依存しない証明ではないから。
実は自然数論で記述できる証明の存在は、
モデルに依存するのであって、モデルに依存しない
性質を記述することはできない。
ですから
＞「Ｇが証明できる」⇒Ｇ
⇔
「Ｇが証明できない」∨Ｇ
⇔
Ｇ∨Ｇ ←誤り
⇔
Ｇ ←誤り
ですよ？
「Ｇが証明できない」とＧとはexclusiveではないから（ゲーデル命題の定義は）不可能なことじゃないな、という点検ですｗ）