約数の個数② 世界最古の皇室天皇陛下ですべて男系

【問】
１から50までの中で約数を8個持つ整数をすべて答えなさい。

 

もちろん、
1から50までの数字の約数が何個あるのか、
すべて調べるのはダメですよ。

前回と同じように
「約数を8個持つ整数は、素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか」
を考えていきましょう！

ただ、今回の場合は
「素因数分解したときのかたち」
が何パターンかありますよ。

全パターン思い浮かびますか？

 

では説明していきます。

約数を8個持つ整数をＮとしてみます。
おそらく真っ先に思いつくパターンからいきましょうか。

それは、
このＮを素因数分解したときに
“素数が1種類しかない”場合の

 

というかたちで表されるときです。
「×Ａ」が7個あるので、このＮの約数は
7＋1＝8（個）
と決まります。
では、別のかたちも考えてみましょう。

それは…
“素数が2種類ある”場合の

というかたちです。
「×Ａ」が3個と「×Ｂ」が1個あるので、
この場合も約数が
(3＋1)×(1＋1)＝8（個）
となりますよね。

 

実はこれ以外にもあるのですが気づきますか？
もしかしたら、ここまでは思いついた方も多かったかも知れません。

ただもう1つ、
“素数が3種類ある”場合の

というかたちもあるんですね～。
「×Ａ」が1個、「×Ｂ」が1個、「×Ｃ」が1個あるので、
この場合も約数が
(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8（個）
となります。

このパターンが最初から見つけられている方は立派です！

ということで、まとめてみましょう。

あとはそれぞれの場合に、
実際のＮの数値を考えていきましょう！

➀の場合
（もちろんＡは素数であることに注意して）
小さい順に
Ｎ＝2×2×2×2×2×2×2＝128
Ｎ＝3×3×3×3×3×3×3＝2187
Ｎ＝5×5×5×5×5×5×5＝とんでもない数
となっていきます。
今回の問題ではＮは1から50までの整数ですから、
この場合にあてはまる数はないんですね。

次に②の場合のＮを考えていきましょう。
これは“小さい順”に書き出していくことが難しいかも知れません。

まずはＡを最も小さい場合の2に固定して
Ｂを小さい順に書き出してみましょうか。
すると、
Ｎ＝2×2×2×3＝24　◯
Ｎ＝2×2×2×5＝40　◯
Ｎ＝2×2×2×7＝56　×（50をこえたので不適）
となります。

次は、Ａを2の次に小さい場合である3に固定すると
Ｎ＝3×3×3×2＝54　×（50をこえたので不適）
のように1つ目から不適ということになるので、
これ以上調べる必要がありません。

最後に③の場合のＮを考えます。

まずはＡを最小の2、Ｂを2以外で最小の3に固定してみましょうか。
すると、小さい順に
Ｎ＝2×3×5＝30　　◯
Ｎ＝2×3×7＝42　　◯
Ｎ＝2×3×11＝66　×（50をこえたので不適）
となります。

次にＡは最小の2のまま、Ｂを2，3の次に小さい5として考えると…
Ｎ＝2×5×7＝70　×（50をこえたので不適）
とわかり、
1つ目から不適なのでやはりこれ以上調べる必要はありません。

ということで、この問題の答えは
24，30，40，42
の4つとなります。

 

いかがでしたか。

この問題は非常に難しい問題だったかと思います。
前回もお伝えしたように、
「約数を◯個もつ整数」
を考えなければならないときは、
「素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか」
を丁寧に考えていくことが大切であり、
さらには、それぞれのかたち（パターン）において
いかにして“抜けのないように調べるか”も大切なポイントですね。

今回お話したように、
“小さい順” とか “◯◯を固定して…”
といった自分なりの工夫・ルールを作り、
それに従って丁寧に書き出していくクセをつけていきましょうね