復習 図形問題を解く「３つのポイント」 平面図形編 がんばろう日本人受験生

図形問題を解く「３つのポイント」 ～平面図形編～

 

今回は図形の問題を目で見て分かるように解くためのポイントについてお伝えしたいと思います。

ポイントその１：わかっていることを図に書き込む！

当たり前だ！と思われるかもしれませんが、この当たり前のことが意外とできていません。

例題　下の図は、ひし形ABCDと正三角形CDEを組み合わせた図形です。
角CBDの大きさは50度です。角AEDと角BAEの大きさは、それぞれ何度ですか。

【手順１】わかっている角度、同じ長さの辺に同じ記号を書き込む

【手順２】さらにわかったことを図に書き込む

【手順３】条件を整理して、答えを導く

この問題の場合は、三角形ADEがDA＝DEの二等辺三角形になります。
よって、角AEDと角EADは等しいので、角AED＝角EAD＝(180°－160°)÷2＝10°です。
また、角BAD＝角BCD＝80°より、角BAE＝角BAD－角EAD＝80°－10°＝70°となります。

 

ポイントその２：補助線を引く！

補助線を１本引くだけで、景色がガラリと変わる問題が数多くあります。

例題　下の図において、xとyの値はそれぞれいくつですか。

AE：EB＝DF：FC＝2.1：0.7＝3：1　より、EB＝AE×1/3＝2.7×1/3＝0.9、よってx＝0.9です。
次に、下の図のように、頂点AからDCに平行な直線を引き、BCとの交点をG、EFとの交点をHとします。

四角形ADFHと四角形ADCGは平行四辺形になるので、AD＝HF＝GC＝2.8㎝です。
また、三角形AEHと三角形ABGは相似で、相似比はAH：AG＝DF：DC＝2.1：2.8＝3：4より、
EH＝BG×、BG＝BC－GC＝3.6－2.8＝0.8、よってEH＝0.8×＝0.6㎝となります。

求めたいｙは線分EFの長さなので、EF＝EH＋HF＝2.8＋0.6＝3.4 となります。

答えを求めるために書いた補助線は１本だけです！

 

ポイントその３：へんてこりんな形は、へんてこりんじゃない形で考える！

ポイント其の２の「補助線を引く」も使いますが、具体的な手法は次のような考え方を使います。

①図形を分けて考える
②等積変形、等積移動を利用する
③共通部分を付け足す
④部分的にではなく、全体的に図を捉える
⑤・・・

上記のように色々とありますが、問題によって使い分ける必要があります。

例題　図のように、長方形ABCDを頂点Cを中心として右回りに90°回転させました。
このとき、影をつけた部分（辺ABが通った部分）の面積を求めなさい。ただし、AB＝6㎝、BC＝8㎝、
長方形ABCDの対角線の長さは10㎝、円周率を3.14とします。

下の図のように、図形全体を2つの直角三角形と半径が長方形の対角線、中心が90°のおうぎ形として捉えます。

次に全体から取り除くべき部分は下の図のように、半径がBC、中心角が90°のおうぎ形と、長方形ABCDとなります。

全体から、いらない部分を引くわけですが、2つの直角三角形は長方形ABCDと同じですから、
答えを求める式は、10×10×3.14÷4－8×8×3.14÷4 となります。

ここで、計算の工夫をしましょう！
(10×10－8×8)×3.14÷4＝(100－64)÷4×3.14＝36÷4×3.14＝9×3.14＝28.26
よって、答えは28.26㎠ となります。

図形の問題を解く際には、他にも注意するべきポイントはありますが、とくに今回お伝えしました
３つのポイントが最重要だと思います。
これから図形の問題を解くときは、以上のポイントを意識してみてください

 

 

分数のわり算は、なぜ上下をひっくりかえしてかけるのか がんばろう日本人受験生

「分数のわり算は、なぜ上下をひっくりかえしてかけるのか」　

⇒ ２つの分数を比べて、わられる数がわる数の何倍かを求めると

　　  結果的に、ひっくりかえしてかけることになる

 

計算ミスを防ぐ 合格受験生日本人がんばろう

複数の「気づきどころ」があるのですが、そのうちいくつかを挙げます。

 

（１）答えの「一の位の数字」を確認する

たとえば、１６８×３７＝［　　］　という計算で、一の位の数字は　８×７＝５６　より６だとわかります。

そこを確認するだけなら時間のロスはないはずです。

 

（２）概数で見当をつける

たとえば、２４６×７５＝［　　］　という計算で、「２５０×７０＝１７５００に近い数値だろうな」「３００×８０＝２４０００より小さいはず」といった概数で見当をつけることで、ありえないような桁ズレの誤答は回避できます。

 

（３）途中の［　　］を求める計算問題では、自分の答えをあてはめて検算する

７８.５＋１２×（［　　］－１.６）＝１２１.７　という計算問題で逆算した答えが５.２になったら、［　　］に５.２をあてはめて計算し、１２１.７になればＯＫ

 

など。

 

計算の工夫 大日本合格受験生がんばろう

今回は、｢楽に・速く・正確に｣

なる計算の根本原理を伝授しましょう。

～計算の悟りを開く修行法｢暗算しばり｣～
計算道場へようこそ。
さっそく問題に入る前に、ひとつだけ約束です。
本道場では筆算は厳禁。
使って良いのは暗算のみです。
入門したての皆さんは、特別に計算結果のメモはOKとします。
では。

問：次の計算を暗算しなさい
(345－297)×21－36×13＝

「無理～」という声がきこえてきそうですが、まぁお待ちなされ。
次の3つのありがたい根本原理を授けましょう。

～3つの根本原理 【補数】【因数】【結合法則】～

その一、【補数】
その二、【因数】
その三、【結合法則】

この3つを使いこなせば、暗算で解けるようになります。

まず【補数】、これは｢きりの良いところまであといくつか｣を意識すること。
次に【因数】、数を｢かけ算に分解して捉える｣こと。
最後に【結合法則】は、｢かけ算をまとめる｣こと。

習うより慣れろです。さっそくやってみましょう。

問：次の計算を暗算しなさい
(345－297)×21－36×13＝

まず括弧の中、345－297
【補数】に着目します。
297があと3で300だなぁと思った人は筋が良い。
300まであと3、300からあと45なので
3＋45＝48
繰り下がりの引き算をせずに、ちょいと足すだけで終わります。

48×21－36×13＝

次は、【因数】に着目します。
着目するというよりも、因数の力が伸びていれば、48と36がぴかっと光ってみえるのです。
実はどちらも12の倍数ですね。
それぞれ12×4、12×3に置き換えて、かけ算のペアにかけちゃいましょう。

12×4×21－12×3×13＝
12×84－12×39＝

すると次の根本原理が見えてきます。
【結合法則】です。
3.14をまとめるのと同じ、といえばわかりやすいでしょうか。
3.14×13－3.14×3＝3.14 ×10
のような計算の工夫を【結合法則】と呼びます。
あらためて計算をみてみると

12×84－12×39＝

12でまとめたくなりますね
12×84－12×39＝12×(84－39)

ここでもう一度【補数】に着目
39はあと1で40ですから、1＋44＝45
とことん工夫しましょう！

12×45＝

いよいよ最後のかけ算です。
これも工夫すれば筆算不要。
再度、【因数】に着目します。

45は2倍すれば90になります。
12を6×2に分解して、先に2×45をしましょう。

6×2×45＝6×90＝540

暗算完了！
パチパチパチ。

たった3つの根本原理を使いこなすだけで、「楽に・速く・正確に」解けてしまいました。
面白いね。

 

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