算数の単位の根本原理 国を愛する心はすごく大事

算数の単位の根本原理

算数の単位についてお話しいたします。

小学校の算数で習う単位にはいくつかの種類があります。

①長さの単位　㎞(キロメートル)/m(メートル)/㎝(センチメートル)/mm(ミリメートル)

②面積の単位　㎢(平方キロメートル)/ha(ヘクタール)/a(アール)/㎡(平方メートル)/㎠（平方センチ）

③体積の単位　㎥(立方メートル)/kL(キロリットル）/L(リットル)/dL(デシリットル)/mL(ミリリットル)/㎤（立方センチ）

④重さの単位　t（トン）/㎏（キログラム）/g（グラム）/mg（ミリグラム）

代表的な単位でもこれだけあるので、なかなか一度には覚えきれません。
丸暗記してもすぐに忘れてしまいます。

算数の単位を覚えるときの根本原理は以下の3点です。

①補助単位を覚える。
②面積の単位で出てくる㎠（平方センチ）の小さな2の意味を理解する
③体積の単位で出てくる㎤（立法センチ）の小さな3の意味を理解する

まずは①補助単位について説明します。

補助単位とは、単位の記号の前にある数です。
代表的な補助単位には、以下のようなものがあります。
k　＝キロ=1000倍
h　＝ヘクト=100倍
d　＝デシ=　1/10倍
C　＝センチ=1/100倍
m　=ミリ=1/1000倍

㎞は、キロが1000倍という意味なので、1mの1000倍となります。
ｍｍ（ミリメートル）は1ｍの１/1000倍です。
ha（ヘクタール）ということは、1aの100倍ということですし、
ｄⅬ（デシリットル）は1Ⅼの1/10ということになります。

この補助単位を覚えてしまえば、単位の意味が分かるので、
度忘れしてしまったときにも思い出すことができます。

単位が苦手な人は、まずは補助単位を覚えましょう。
次に②について説明します。

㎡や㎢の小さい2は縦×横で2個かけ算しているという意味です。
ですから、1㎢は1㎡の1000倍×1000倍=1000000倍になります。
また、1㎡は1㎠の100倍×100倍=10000倍になります。
㎢は㎡の1000倍ではないですし、㎡は㎠の100倍ではありません。

このような図をイメージして考えてください。

また、面積の単位でまぎらわしいのは、aとhaです。
大きい面積の単位は㎡⇒a⇒ha⇒㎢と変化していきます。
これは次の規則に従っています。

A;長さは10倍ずつ増えてゆく
1倍(1m×1m)、10倍(10m×10m) 、100倍(100m×100m) 、1000倍(1000m×1000m）
B;面積は100倍ずつ増えてゆく
1倍、100倍、10000倍、1000000倍

上の図を自分で書いてみると、面積の増え方の根本原理がつかめます。
面積の大きさのイメージとして
㎡＝教卓
a＝教室
ha＝校庭
と考えておくと、およその広さがつかみやすくなります

最後に③について説明します。

体積の単位㎥や㎤の小さい3は、縦×横×高さで3個かけ算しているという意味です。
そうすると、長さが１倍、10倍、100倍となるとき、
以下の計算が成り立つので、体積は１倍、１０００倍、１０００００倍となります。

1㎤=1㎝×1㎝×1㎝
1L=10㎝×10㎝×10㎝=1000㎤
1㎥＝1m×1m×1m=100㎝×100㎝×100㎝＝1000000㎤

体積の大きさのイメージは納豆がどれくらいつまっているかで考えます。

1mL=1㎤＝納豆ひとつぶ
1dL=納豆パック（納豆１００つぶ）
1L=牛乳パック　（納豆10パックぶん、合計1000個）
1kL=家のお風呂（納豆100万個）

お風呂いっぱいの100万粒の納豆・・・。
ちょっと想像したくない、という人は、納豆を1㎤の小さなサイコロに置きかえてください。

【平面図形】見通しを立てて解き進めよう！ 守ろうわが国の領土

今回は「連比」を使った「相似」の典型題を解説します。
まずは次の問題を見てください。

この問題がスラスラ解けるなら、「相似」についての応用力はまずまずできていると考えていいでしょう。
受験ドクターの根本原理では実践編の110番に出てくる、超典型かつ超重要問題です。
この問題を解く上では、正しく方針が立てられているか、これが重要です。
今回のように、３つの部分の比が問われたときは、基本的に「連比」を使う以外の方法はあり得ません。
そもそも「比」というのは、２つのものを比べた数字なので、いきなり３つを比べるということはないのです。
ですから、BG:GH:HDを求めたければ、BD上で２組の比を見つけなければいけない、ということです。
うまく２組の比が見つけられれば、あとは「連比」をすればOKだな！と考えられていれば大丈夫です。
やみくもに問題を解き始めてもうまくいかないので、まずは解答までの見通しをつけるようにしましょう。

以上のように方針が立つなら、次に考えることは、この図の中で２組の相似形を見つける、ということです。
見つからなければ、補助線を引いて自分で作ることも考えなければいけません。
しかし、この図の場合はすでにちょうど良い相似形が２組ありますね？
それが見えますか？
ひとつはこれですね。

そして、もうひとつはこれです。

ついでに比も書き込んでしまいましたが、ここまで見えればゴールは目の前です。
BH:HDとBG:GDがわかったので、あとはこの２つを「連比」すれば、答えが出るはずです。

このときに、無理にひとつの図の中で処理しようとしない方が良いです。
面倒くさがらずに、BDだけ別に書き出して整理する方がミスは少なくなるはずです。
具体的にはこんな感じです。

ゴールまであと少しですね。
そう、あとは「連比」です！
前回もお伝えしたように、同じ長さのはずなのに、数字が違っている部分を探します。
今回はBDの部分がポイントですね！
青数字はBDが４となっていて、赤数字はBDが３となっています。
ということで、ここをそろえてあげれば、すべての数字が足したり引いたりできるようになります。

ということで、BG:GH:HD＝3:5:4となります。
いかかがですか？
きちんと求めることができたでしょうか？
今回の問題は、とても重要ですので、うまくできなかった場合は何度でも練習してください。
同じ問題で構いません。
手順や答えを完全に覚えてしまっていいので、むしろそこまで覚えてしまうことを目標に練習してください。

場合の数の裏技 同胞日本人に元気あげたい

場合の数の裏技

今回はタイトルにもあるように「場合の数」について書きたいと思います。

場合の数って、数え漏れによるおしい間違いが起きやすいですよね！

そんなミスが少しでも減ったらいいなと思い、裏技を紹介したいと思います。
今回この裏技を使う問題は「区別された数種類の複数ものから何個か選ぶときに何通りの選び方があるか」というパターンの問題です。
では、例を交えつつ説明していきます。

 

問題①

黒ペン2本、赤ペン2本、青ペン2本があります。この中から3本を選ぶとき何通りの選び方があるか求めなさい。

 

さて、どうでしょうか。黒－赤－赤や赤－赤－青と書き出していった子もいれば、同じ色のペンを2本選ぶ場合と、1本選ぶ場合で場合分けした子もいるのではないでしょうか。
どちらも間違いではありませんし、それで100発100中できていれば問題ありません。

 

では、「裏技」でやってみましょう！

 

この裏技でやることは2つだけです。

1つ目は、黒ペン、赤ペン、青ペンに番号をつけることです。
黒ペン＝①、赤ペン＝②、青ペン＝③のように。

2つ目は、その番号を背の順に並べることです。
※組み合わせの問題は重複してはいけないので大原則は背の順です。背の順に並べることで1－1－2と1－2－1などの重複を防ぐことができます。背の順とは、左から右に行くほど数値が大きくなるようにすることです。同じ数字はOKです。小さくなるのが絶対にNGです。

すると、

となり、7通りと分かります。

ではこのやり方を練習してみましょう。

 

問題②

黒ペン2本、赤ペン3本、青ペン3本があります。この中から3本を選ぶとき何通りの選び方があるか求めなさい。

 

 

どうでしょうか。では、答えです。

となり、9通りと分かります。

 

では、最後に1問です。数も増えますので、この問題ができれば完璧でしょう！
できなくても何回も練習してできるようになれば大丈夫です！

 

問題③

黒ペン2本、赤ペン3本、青ペン3本があります。この中から4本を選ぶとき何通りの選び方があるか求めなさい。

 

どうでしょうか。では、答えです。

となり、10通りと分かります。

合っていたでしょうか。合っていた子は自信をもってください。合っていなくてもしっかりと復習してできるようになれば「できるようになった」という結果は同じですから心配しないでください。

図形問題を解く「３つの要点」 頑張ろう日本人

図形問題を解く「３つの要点」 ～平面図形編～

人間の脳は、目で見たものを信じるようにできていると思いませんか？

今回は図形の問題を目で見て分かるように解くためのポイントについてお伝えしたいと思います。

ポイントその１：わかっていることを図に書き込む！

当たり前だ！と思われるかもしれませんが、この当たり前のことが意外とできていません。

例題　下の図は、ひし形ABCDと正三角形CDEを組み合わせた図形です。
角CBDの大きさは50度です。角AEDと角BAEの大きさは、それぞれ何度ですか。

【手順１】わかっている角度、同じ長さの辺に同じ記号を書き込む

【手順２】さらにわかったことを図に書き込む

【手順３】条件を整理して、答えを導く

この問題の場合は、三角形ADEがDA＝DEの二等辺三角形になります。
よって、角AEDと角EADは等しいので、角AED＝角EAD＝(180°－160°)÷2＝10°です。
また、角BAD＝角BCD＝80°より、角BAE＝角BAD－角EAD＝80°－10°＝70°となります。

 

ポイントその２：補助線を引く！

補助線を１本引くだけで、景色がガラリと変わる問題が数多くあります。

例題　下の図において、xとyの値はそれぞれいくつですか。

AE：EB＝DF：FC＝2.1：0.7＝3：1　より、EB＝AE×1/3＝2.7×1/3＝0.9、よってx＝0.9です。
次に、下の図のように、頂点AからDCに平行な直線を引き、BCとの交点をG、EFとの交点をHとします。

四角形ADFHと四角形ADCGは平行四辺形になるので、AD＝HF＝GC＝2.8㎝です。
また、三角形AEHと三角形ABGは相似で、相似比はAH：AG＝DF：DC＝2.1：2.8＝3：4より、
EH＝BG×、BG＝BC－GC＝3.6－2.8＝0.8、よってEH＝0.8×＝0.6㎝となります。

求めたいｙは線分EFの長さなので、EF＝EH＋HF＝2.8＋0.6＝3.4 となります。

答えを求めるために書いた補助線は１本だけです！

 

ポイントその３：へんてこりんな形は、へんてこりんじゃない形で考える！

ポイント其の２の「補助線を引く」も使いますが、具体的な手法は次のような考え方を使います。

①図形を分けて考える
②等積変形、等積移動を利用する
③共通部分を付け足す
④部分的にではなく、全体的に図を捉える
⑤・・・

上記のように色々とありますが、問題によって使い分ける必要があります。

例題　図のように、長方形ABCDを頂点Cを中心として右回りに90°回転させました。
このとき、影をつけた部分（辺ABが通った部分）の面積を求めなさい。ただし、AB＝6㎝、BC＝8㎝、
長方形ABCDの対角線の長さは10㎝、円周率を3.14とします。

下の図のように、図形全体を2つの直角三角形と半径が長方形の対角線、中心が90°のおうぎ形として捉えます。

次に全体から取り除くべき部分は下の図のように、半径がBC、中心角が90°のおうぎ形と、長方形ABCDとなります。

全体から、いらない部分を引くわけですが、2つの直角三角形は長方形ABCDと同じですから、
答えを求める式は、10×10×3.14÷4－8×8×3.14÷4 となります。

ここで、計算の工夫をしましょう！
(10×10－8×8)×3.14÷4＝(100－64)÷4×3.14＝36÷4×3.14＝9×3.14＝28.26
よって、答えは28.26㎠ となります。

図形の問題を解く際には、他にも注意するべきポイントはありますが、とくに今回お伝えしました
３つのポイントが最重要だと思います。
これから図形の問題を解くときは、以上のポイントを意識してみてください！

 

てんびん図をつかいこなす 男は家を守る

10％の食塩水100ｇに、濃度がわからない食塩水Ａを50ｇ加えて、さらに50ｇの水を加えたところ、食塩水の濃度は６％になりました。加えた食塩水Ａの濃度は何％ですか。
(海城中　平成二十七年　第１回)

この問題の場合、公式で解くという人も多いでしょう。
私も本番のテストとなれば、以下の式で、解くかもしれません。

食塩水Ａの食塩の重さ＝(100＋50＋50)ｇ×－100ｇ×＝２ｇ
食塩水Ａの濃度＝２ｇ÷50ｇ＝0.04　→　４％

ですが、本日、お伝えしたいのは、武器(解法)の使い方なので、
別の方法で、解きます。

算数の食塩水といえば、公式以外に、てんびん図が解法としてあります。

そして、てんびん図は、理科でのてこのつりあいを利用しています。
てんびん図とてこのつりあいをまとめると、次のような感じですね。

上の図、そして、つりあっているときは支点をどこでもよいことを使って、問題を解くと、

解法①　０％を支点とする
左に回すはたらき＝200ｇ×６％
右に回すはたらき＝50ｇ×□％＋100ｇ×10％
□＝４％

解法②　６％を支点とする
左に回すはたらき＝50ｇ×６％＋50ｇ×△％
右に回すはたらき＝100ｇ×(10－６)％
△＝２％　　□＝６－２＝４％

となります。理科の知識が算数でも使えることが体感できましたか？
めんどくさい…公式で解けるからいいのでは？と思う人もいるかもしれませんが、
１つの解法しか知らないと、発展問題に太刀打ちできないことがあります。
ですから、さまざまな武器(解法)を根本原理まで理解し、その武器を磨くのです。

では、実際にこの武器を発展問題で使ってみましょう。

次の問題です。

400ｇずつ食塩水が入っている容器Ａ、Ｂ、Ｃがあり、容器Ｃの食塩水の濃さは３%です。容器ＡとＢからそれぞれ200ｇずつ取り出して混ぜると３%の食塩水になりました。次に、容器Ｃから200ｇずつとりだして容器Ａ、Ｂに入れると容器Ａの食塩水の濃さは容器Ｂの食塩水の濃さの２倍になりました。はじめの容器Ａの濃さを求めなさい。

この問題を公式で解こうとすると、結構時間がかかると思います。

ということで、先ほどの、てんびん図とてこのつりあいという武器を使います。

この問題のポイントは、すべて200ｇずつの食塩水を混ぜていること、
解法のポイントは、濃さの数値をてこの棒と見立てているので、０％から棒をかいてみることです。

では、混ぜているようすをでんびん図にしてみましょう。

・容器ＡとＢからそれぞれ200ｇずつ取り出して混ぜると３%の食塩水になりました。

＜図１＞

 

・容器Ｃから200ｇずつとりだして容器Ａ、Ｂに入れると容器Ａの食塩水の濃さは容器Ｂの食塩水の濃さの２倍になりました。

＜図２＞

＜図３＞

 

ここで、技をひとつ。
図１から図3のてんびん図をひとつにまとめてみましょう。
ひとつにまとめると、次のようになります。

 

図１の１つ分の長さと、図２、３の２つ分の長さが同じです。

そして、１つにまとめたことにより、

図から、３つ分が３％となり、５つ分のＡ％は５％となります。

ほぼほぼ計算せずに解答できました。

このように、根本原理を正しく理解し、使うことによって、さまざまな問題が解けますので、
１つの問題に対して、１つの解法を暗記するのではなく、
解法の原理を理解していきましょう。

他にも、てんびん図は、算数では平均の問題でも使えますし、理科ではカロリー計算にも使えます。