表面積は簡単！～立体図形～ がんばろう大日本 令和二年度

令和二年度の入試問題を見ていると、立体に関する問題が以前より

難度が高くなっていることに気づかされます。

 

そこで本日は、立体の問題、特に、表面積の求め方について

まとめたいと思います。

 

表面積を求める問題は、手立てはすぐにみつかるのですが、正答にたどり着くには

時間がかかったり、計算ミスをおこしてしまったりと厄介な問題になります。

しかし、本日は、手順が分かっていれば必ず解ける方法をご提示いたします。

 

それでは実際に問題を解いていきましょう。

 

問題【1】次の立体の表面積を求めなさい。

 

表面積は、基本、

3方向から見てください。

 

上、手前、右の3方向です。

 

 

 

 

 

円すいの場合、右からみた表面積と、手前から見た表面積は同じなので、

2方向からで大丈夫です。

 

 

しかし、立体図形は、3方向から考えることを基本と覚えておいてください。

 

まず、「上」からみると

 

円Oが見えますね。

 

次に、「手前」と「右」からみると、

 

 

 

 

 

 

黄色で塗った部分が見えます。

 

この黄色い部分を開くと、おうぎ形になるので、

右図のようなおうぎ形になります。

 
 

円すいの側面のおうぎ形の面積を求めるには、

母線と半径が必要になるので、展開図は、次のように描きます。

 

 

底面の円もくっつけて描くようにしましょう。

 

部分図が描き終わったので、次に式を立てて解いていきます。

 

【式】　9×9×3.14＋15×15×3.14×＝(81＋135)×3.14＝216×3.14＝678.24㎠

 

 

以上です。

 

まとめると、

①3方向(2方向)から見る

②部分図を描く

③式を立てて解く

 

この3ステップです！

これだけで確実に解けるようになります！

 

更に、回転体にもチャレンジしてみましょう！

 

 

 

 
 

 

問題【2】右の図のような直角三角形と長方形を

組み合わせた図形を、直線ℓを軸として回転してできる

立体の表面積を求めなさい。

 

 
 
 
 

 

まず、回転した時の完成図を描きます。

 
 

先ほどの3ステップを思い出してください。

まず、ステップ①3方向から見る

上から見ると、半径9㎝の円が見えます。

 

 

 

また、下から見ると、半径15㎝の円が見えます。

 
 

次に、右から見ると、

上の部分と下の部分が見えます。

 

 

上の部分は、円すいの一部となり、下の部分は円柱の側面になります。

まず「上の部分」赤いところの側面積は、

円すいの一部なので、

 

 

 

この15㎝、25㎝は相似形を利用して求めています。

 

「下の部分」青い部分は、円柱の側面になるので、長方形になります。

 

 

 

 

あと、最後に忘れていけないのは、上から覗き込んだときに、空洞になっている部分の側面です。

 
 
つまり、

 

図の緑の部分です。

 

この部分は、半径9㎝の円柱の側面ということがわかるので、

 

 

 
 
右の図の長方形になります。

 

 

 

これでステップ②部分図を描くところは終わったので、

 

あとは、

ステップ③式を立てていきます。

 

9×9×3.14＋15×15×3.14＋25×25×3.14×＋9×15×2×3.14＋8×9×2×3.14

 

＝(81＋225＋240＋270＋144)×3.14

＝960×3.14

＝3014.4㎠

 

 

となります。

最後の式に持っていければアッという間ですが、式が長いですね。

3.14でまとめることも忘れないようにしましょう。

式からもわかるように、この回転体の表面積は、部分が、5か所にわかれています。

これを頭の中だけでやっていくのは、無理です！

「半径」や「高さ」を求めながら、式も作って、部分を考えるということは、

どんなに計算が得意だとしても、どこかで計算ミスをしてしまったり、見落としてしまったりということが起こります。

 

必ず、部分図を描いて式を作ってから解くようにしましょう！

最後は、3，14でまとめるということも忘れずに。

 

本日は、表面積を求めるときの手順3順番でした。