やはり、ゲーデルは定式に失敗していた・・・

￢Ｇを仮定すると、

￢Ｇ
⇔
Provable(Ｇ)
⇒
Ｇ　　　　　　　　∴　Ｇ∧￢Ｇ（矛盾）が導かれた・・・・・・・。

ここに【無矛盾性公理】を適用すれば「矛盾の前提となった仮定￢Ｇを否定してＧ」を得るので（ゲーデル流に言えば）「数学の矛盾性を仮定すれば数学の無矛盾性が証明できた」となる。これは《矛盾性の否定》なのでゲーデルの結論とは大きく異なる。また、ゲーデルはＧ∧￢Ｇの存在によって（ヒルベルトの忠言によるのかどうか知らないが）「数学は矛盾しておれば矛盾性も無矛盾性も両方が証明できる」と言うらしいが、ま、私としたら「それは困ります」と言いつつ今日の仕事を始めよう。

￢Ｇが証明できたと仮定すると、

Provable(￢Ｇ)
⇔
Provable(Provable(Ｇ))
⇒
Provable(Ｇ)
⇔
￢Ｇ　　　　　　　∴　Provable(￢Ｇ)⇒￢Ｇ　対偶は　Ｇ⇒￢Provable(￢Ｇ)

ゲーデル流に訳せば「数学は無矛盾であるならば矛盾性を証明しない」となる！（ま、これは良い・・）

ところが、矛盾性だけあって証明が２通り生じてくるのだよ！

Provable(￢Ｇ)
⇒
￢Ｇ
⇔
Provable(Ｇ)
⇒
Ｇ　　　　　　　　∴　Provable(￢Ｇ)⇒Ｇ　対偶は　￢Ｇ⇒￢Provable(￢Ｇ)

ゲーデル流だと「数学は矛盾しておるならば己の矛盾性を証明できない」だと！（こりゃ、ヤバイ・・）

【結論】「数学は矛盾していても無矛盾であっても己の矛盾性を証明できない」（隠れ不完全性定理？）

これは（素朴な直感では）数学の本質に忠実な結果のようにすら思えたりもするが、ま、トンデモナイ話なのであって、かなりヤバイ話だと（鋭く深く）認識するべきだ。ここから矛盾性による結果が拡大していったところで、何も数学体系そのものの話になどなってくるわけがない。

ゲーデルの定式によっては『ヒルベルトの忠言』（数学体系内の命題が一つでも矛盾しておればすべての命題とその否定命題が証明される）には、一歩たりとも、踏み出すことが出来なくなっているのである、少なくとも私にはそうみえる。

それは（すでに何度か、書かせていただいたように・・）Ｇが数学の無矛盾性と同値だとしたゲーデルの証明は、じつは￢Ｇが（厳格な意味における）『数学の矛盾性』（否定が証明できる命題は矛盾する）を意味した命題であり、ま、自己言及として反山野命題￢Ｙと同値だ、というのが正しいという事情に基づいているのであり、先に自己言及を果たしている￢Ｇの、述語命題としての否定形であるＧが“二値論理”と“排中律”とだけによる論証では（形式的であるにせよ、形だけの）『数学の無矛盾性』たる地位を（誤って）与えられてしまったのではなかったか？

はあ～、朝飯前で疲れたので今日のところはここまで・・。