数学体系は４の倍数は２の倍数であるという命題を証明する

正確には「任意の４の倍数はすべからく２の倍数である」という意味の“偽定理”であるが、その真偽をいえば「真」だ・・。

この偽定理を数学命題Ａとしよう、すると数学体系においてずっとＡ⇒ＡであってＡ⇒￢Ａではなかろう、そうしたら数学体系の無矛盾性だけでなくて「きっと個々の数学命題の無矛盾性をも意味するだろう」という想定のもとに造られた物こそが、山野命題Ｙ＝「この命題は反証されない」であったが、それを命題論理として扱って計算してみたところが「Ｙ⇒Ｙは証明できない」だとは？

数式で表すと「４ｎ＝２ｍ（ｎ，ｍは自然数）」なんだけど、
これを
帰納法で証明する方法は不完全だというのがゲーデル流・・。

でも、

やっぱりどうしても変だ、だって標題を「数学体系は４の倍数は２の倍数であるという命題を反証しない」に変えたら、もちろん私の意図の通りに「山野命題Ｙの一員である」といえるはずだと思うのだ、ところが、昨日ここで論じたようにまったくそうではない、とは？

じつは命題計算にも拘らず「Ｙ⇒Ｙを証明する方法」はちゃんと存在する、それは・・。

ｎ＝１のときｍ＝２でＹ⇒Ｙ、ｎ＝ｋのときＹ⇒Ｙと仮定したらｎ＝ｋ＋１のとき、うんぬんかんぬん～、などと“ゲーデル流で奮戦”していたいわけじゃなく、一つには《無矛盾公理》によって、もう一つには“山野流の命題計算法”によって、いずれも見事に証明されます！

１）無矛盾公理を使う方法
数学体系に￢Ｙ＝「この命題は反証される」を仮定すると、きのう当ブログで論じたように、あるいは、ほとんど自明で、Ｙ∧￢Ｙ。無矛盾公理より、原因となる￢Ｙの仮定を否定してＹが得られ、あとＹは反証されないからＹ⇒Ｙ。

２）定義より明らかである
意味より、Ｙ⇔Ｙ∧「Ｙの定義」（Ｙは、Ｙを山野の如く定義すること自体でありさらにＹであること、と同値）であり、さらに￢Provable(￢Ｙ)⇒Ｙなどから、Ｙ⇒Ｙ。

２）は不思議なようだが、定義にすぐ戻して「Ｙの定義」⇔Ｔ、ところが「Ｙを証明できる」⇒Ｙなどによって「Ｙの定義」⇒Ｔであり、それを使ってトリッキーに証明されます。こうなると、やはり、途中でかなり気にしていたように、自己言及命題には否定の二重性問題が避けられないことから来る、どこかでＹ⇔Ｇなる成分がどうしても混ざってしまうことによって、どこかで「Ｙは証明できない」が出てきてしまってのこと、だと判定します！

すると《不完全性定理》を信じてあげるわけにはいかない、とゆー（言うなれば）“新しい現実”が出現してしまうのですよ、あなあなかしこ・・。