ゲーデル命題は灰色性から考察し直されるべきである・・

　無矛盾な数学体系において証明不可能命題が存在してしまうというショッキングなイヴェントがゲーデルによる不完全性定理の顛末でした。論理学における自己言及のパラドクスというのは例えば簡潔には「私は嘘つきです」というものです。この命題が真ならば発言者は嘘をついているはずなのですが嘘つきが自分を嘘つきと言ってるのですから正直です。そこからこの命題を偽としたしますと発言者は正直だということになりまして正直者は自分のことを嘘つきとは言わないから再び不合理に陥ります。ま、これを堂々巡りにくりかえす他にない・・。

対してあべこべの例にカリー命題というのがございます！

　私の翻訳によりますと「私が正しいならばＡ」という形の文章のことです。これはＡに何を入れようと文全体は真になってしまうからＡも常に真だというところがパラドクスなんですが、ヤフー掲示板で私は謎を解きました。しかし同値変形すれば「私が間違いであるかまたはＡ」ですから何のことはないはずなんです。最後の下りが詭弁といえば詭弁、しかし、真の解決の糸口は「論理学における同値変形は文が何を言っているかに関する結果しか得られない」ということなんです。つまり発言者は確かにわざと間違っているかあるいはＡが正しいと言っているという言うなればそれだけのことだったんです・・。

そうして今回の本題であるゲーデル命題とはどんなものでしょうか？

　ゲーデル命題とはＧ「Ｇは証明されない」というものだそうです。そこから述語論理を仕組みまして￢Ｇ「Ｇは証明される」とやるとなにやら嘘つきパラドクスと似てきまして「Ｇは証明できないと分かったらＧが証明されたことになるから￢Ｇが正しいと証明できたはずである」さらに「￢Ｇが正しいと証明できたのならばＧは証明されるのだからＧが正しいと証明できたはずである」ということになってＧ∧￢Ｇとなる。数学体系内では矛盾は許されないからＧでも￢Ｇでもなくなる他にない。もし数学体系内にゲーデル命題にあたる論理式が存在したら証明も反証もされない。しかしＧは証明されなかったのだから明らかにＧは真である。

数学には明らかに真であるにも関わらず証明も反証もされない命題が存在する・・。

　これがゲーデルによる《数学の不完全性に関する第一定理》の骨子といって良いでしょう。しかし私たちの疑問は「意味を持った定理のような予想の内でゲーデル命題が見いだされたという話を終ぞ聞いたことがない」これです。まあゲーデルの証明は詳しい物で「明らかに数学体系内の命題に見いだされる」ことも証明してありますから無批判に信仰する人だって多いのは知っております。ゲーデル命題には数学の無矛盾性も含まれていますのでその場合には次のような読み慣れている人も多い表現になります。

無矛盾な数学体系は己の無矛盾性を体系内で証明することができない・・。

　これがかの有名な《数学の不完全性に関する第二定理》の言い方です。しかし私は「第二定理だけしか意味を持つゲーデル命題を示すことができないならば数学の不完全性は虚妄に終わる」と存じます。￢Ｇの定義文を命題論理で翻訳すれば￢Ｇ⇒（Ｇ⇒証明される）となるので恒真です。つまりゲーデル命題の合理性はひとえに否定が恒真であることだけに寄りかかっているという疑いが生じます。Ａ「ＡはＢである」に対して￢Ａ「Ａは￢Ｂである」と構成いたしますとＡ∧￢Ａは￢Ａ⇔ＴゆえにＡそのものと同値になります。すなわち「矛盾した表現であるがＡが真であるゲーデル命題の拡張版」だと分かります。これは私が原子命題に対抗させるべく考案した物でクォーク命題と言います。その否定たる反クォーク命題と中間子結合をさせて定義性を強く表現することができる《中間子文》だと名付けました。

無矛盾な数学体系は定義を証明することができない！

　これが新しい発見です、ただし古くて新しい思想とも関与しておりまして、ゆえにヒルベルトは数学に対して《無定義用語》を提唱して対抗したのではないか、と訝しがっておる次第です。さて数学の歴史をひもとけばヒルベルトによる今回の意味のような論文が見つかるのでしょうか、もし無かったら一般相対性理論建設をも目論んでいた人だけあって、根っからの数学者というよりも元来もっと鼻のきく科学者だったと結論して良いような気さえするのですが・・。