節へのリンク
1. 表題書籍について
2. 表題書籍の目次
3. 著者たちの狙いと想定予備知識
4. 関連書籍
関連記事、更新履歴 ←いずれも別記事へのリンク
「ABC予想は確かに証明されていると信じられる理由」の記事へのアクセスが本ブログ記事の
中では一番多い状況が続いているので、久し振りに表題書籍を読み直して見た。
1. 表題書籍について^
本としてのデータは下記の通り。
ＰＨＰサイエンス・ワールド新書 ＡＢＣ予想入門 黒川 信重/小山 信也【著】
ＰＨＰ研究所（2013/04発売） サイズ 新書判／ページ数 218p／高さ 18cm
ISBN978-4-569-81407-6
内容については、下記サイトでの読者レビューが参考になる。単に「ABC予想」をキーに検索
して上位にくるブログ等の説明とは、数学者が書いた解説だけに、さすがに一味も二味も違う。
https://www.kinokuniya.co.jp/
https://www.kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-9784569810676
https://www.kinokuniya.co.jp/disp/CSfGoodsPage_001.jsp?CAT=08&GOODS_STK_NO=9989080798
https://www.amazon.co.jp/
ABC予想入門-PHPサイエンス・ワールド新書-黒川-信重/dp/4569810675
なお、Google Books で第２章の途中まで無料で試し読みできる。
ところで、この本は見かけと出版社名から受ける印象とは大きく異なり、「本格的な数学書」と
しての性質を持っている（内容を「精選」したことで、200ページの新書に収まってはいる）。
- すべての章で、証明を伴う命題が提示される。第１章で証明する命題は（比較的簡単な例と
して提示する）「予想」であるが、第２章以降では、普通に「定理」が証明される。
+ 大学での数学の教科書なら「普通のスタイル」だが、例えば「ブルーバックス」に、こんな
スタイルで書かれた本は、見あたらない。
+ 第５章は「複素数の微積分」を知らないと議論を追えない。他の章は「数学好きの高校生」
程度に数学の用語法（「集合」など）になじんでいれば、証明の流れは追えると思われる。
- 引用文献が、数学史に関する本を除くと、（かなり高度な）数学の専門書と英語の数学論文と
いう「一般向けの本」は、この本以外には見たことがない。
- 数学史に関する説明箇所でも、あちこちに「高度な数学用語」が頻出するので、それらの用語
全ての意味を確かめようとしていたら、なかなか先に進めなくなる恐れがある。
知識レベルや関心分野が「著者たちの想定範囲（理系大学生程度＋整数論に関心あり）」の読者
にとっては、興味深い内容が手軽に読める本だと思う。
- 多項式版の予想など、通り一辺のネット検索では引っかからない、数学史の話は興味深い。
+ 「多項式版のabc予想（証明：ストーサーズ，1981年）
a, b, c が互いに素で全て 0 でなく１つは定数でない複素数係数多項式、a + b = c ならば
max(deg(a),deg(b),deg(c)) < deg(rad(abc)) ; rad(abc) はabcの異なる一次式因数の積、
deg は多項式の次数」(p.106) : ブログ筆者注）ただし、ここでは、表題書籍とは文言を少し
変えた。なお、複素数係数多項式は「代数学の基本定理」により、必ず一次式の積になる。
+ 「多項式版のabc予想は、後から振り返って見ると、すでに1963年に小平邦彦によって証明
されていたことがわかっている」（p.204）
- 第５章 (p.143-193) は、関連分野についての手軽に読める入門的記述として貴重。
+ 楕円曲線、モジュライ、保型形式という３つの重要な概念を50ページで紹介している。。
- フェルマー予想のワイルズによる証明と同様、abc予想の証明にも「楕円曲線」が出てくると
いう話も、 通り一辺のネット検索では引っかからない興味深い話題。使用された楕円曲線は
フェルマー予想の場合: y² = x(x-an)(x+bn)、abc予想の場合: y² = x(x-a)(x+b)。
注）望月IUT論文は abc 予想を直接示したのではなく、abc 予想を「系」として含むことが既に
知られていた命題「Vojta 予想」を証明している。「Vojta 予想」からabc 予想を導出する際に、
y² = x(x-a)(x+b) という楕円曲線が利用される。下記論文 p.4 l.13-l.15 と脚注 8 を参照。
https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/notesoniut.pdf
「Arithmetic Deformation Theory via
Arithmetic Fundamental Groups and Nonarchimedean Theta-Functions,
Notes on the Work of Shinichi Mochizuki」by Ivan Fesenko
1.3. Conjectural inequalities for the same property.
上記論文の参考文献 [6], [47] の他、山下剛が IUT 理論検証の一環として執筆したサーベイ論文
「A Proof of the abc Conjecture after Mochizuki」p.5 にも「Vojta 予想」からabc 予想を導出
する手順が簡潔に示されている。
# ↑(IUT理論以前の）一般的な数論幾何学を理解している「プロの数学者」向け説明なのは、
# 仕方がない。^^; IUT 理論の主定理からの「Vojta 予想」の導出も、一般的な数論幾何学の
# 知識に依存するが、逆に言えば、その知識さえあれば、必ずしも複雑な話ではないようだ。
# 望月の原論文だけでなく、下記のように、複数のサーベイ論文に導出過程が書かれている。
# 前記 Ivan Fesenko の論文 p.21-p.22 2.12. The application of IUT.
# 星裕一郎「続・宇宙際Teichmüller入門」p.94-p.97 §26.Diophantus 幾何学的不等式
# 前記 山下剛 の論文 p.14-p.48 §1;. Reduction Steps via General Arithmetic Geometry.
# ページ数から明らかなように、上が簡潔、下が丁寧な説明。^^;
# この部分には「IUT理論のインフォーマルな説明」に相当する「一般向け解説」は見当らない
# ようなので、知りたい／解りたい場合は、地道に勉強するしかなさそうだ。^^;
- 2012年の望月 IUT 論文４部作で示されたのは、不等式の中に＊ε依存の＊定数 K(ε）がある
「a,b,c を互いに素な整数で、a + b = c とすると、
全ての ε> 0 に対し、ある K(ε）≧ 1 が存在し、max(|a|,|b|,|c|) < K(ε）rad(abc)；
ただし、rad(abc) は、abcの異なる素因数の積（abcの根基／radical）」との命題（いわゆる
「弱いABC予想」）であり、フェルマー予想（＝ワイルズの定理）の別証明には上のK(ε）を
ε に依存しない定数にした（2022年に査読を通過した下記論文で示された）命題が
必要なことも、きちんと説明されている。
Mochizuki, Shinichi; Fesenko, Ivan; Hoshi, Yuichiro; Minamide, Arata ;
Porowski, Wojciech (2022-06).
“Explicit estimates in inter-universal Teichmüller theory”.
Kodai Mathematical Journal 45 (2): 175-236. doi:10.2996/kmj45201. ISSN 0386-5991.
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kodaimath/45/2/45_175/_article/-char/ja/
上記のダウンロードにはユーザー認証があるが、多分、下記２つも（ほぼ？）同じもの。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/rims1933revised.pdf
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Explicit%20estimates%20in%20IUTeich.pdf
次節で目次を丸ごと引用し、キーワードへのリンクと併せて、内容を概観する。
2. 表題書籍の目次^
はじめに
第１章 数学の予想とは
1.1 数学者は未解決問題を考える
1.2 数学予想はいかになされるか？
1.3 数学予想は解決までに時間がかかる
1.4 数学予想の解かれ方
1.5 数学予想の作り方
コラム１ 予想って当たらないこともあるの？
第２章 素数と絶対数学入門
2.1 abc予想と素数と絶対数学
2.2 素数の歴史
2.3 素数の作り方
2.4 素数と暗号
2.5 整数と多項式
2.6 素数とリーマン予想
2.7 絶対数学とリーマン予想
2.8 素因数分解の一意性
コラム２ 素数ってピタゴラスが発見したの？
第３章 ａｂｃ予想の歴史
3.1 フェルマー予想の歴史
3.2 abc予想とは
3.3 多項式abc予想と 多項式フェルマー予想
3.4 abc予想の応用例
コラム３ 「任意のε> 0 に対し、K(ε) が存在」ってどういう意味？
第４章 多項式ａｂｃ予想の証明
4.1 多項式abc予想の証明
4.2 一般化された多項式フェルマー予想の証明
4.3 多項式フェルマー予想の直接証明
コラム４ 多項式は整数よりなぜやさしいの？
第５章 楕円曲線と保型形式の古典理論
5.1 基本領域
5.2 双曲空間とモジュラー群
5.3 保型形式の古典理論
5.4 楕円曲線とモジュライ空間
コラム５ 楕円曲線と楕円は違うの？
第６章 整数ａｂｃ予想の証明へ：絶対数学
6.1 abc予想とスピロ予想
6.2 スピロ予想の多項式版
6.3 スピロ予想の例
6.4 いくつかの予想の比較
6.5 望月論文
索引
3. 著者たちの狙いと想定予備知識^
黒川信重［クロカワノブシゲ］
１９５２年栃木県生まれ。東京工業大学理学部数学科卒業。同大学大学院修士課程修了。
東京大学助教授などを経て、東京工業大学大学院理工学研究科教授。
専門は数論・ゼータ関数論・絶対数学・多重三角関数論
小山信也［コヤマシンヤ］
１９６２年新潟県生まれ。東京大学理学部数学科卒業。東京工業大学大学院修士課程修了。
プリンストン大学客員研究員、慶應大学助教授、ケンブリッジ大学ニュートン数理科学研究所員
などを経て、東洋大学理工学部教授。専門は整数論・ゼータ関数論・量子カオス
という著者両名のプロフィール、この二人の共著や各々の単著である一般向け書籍の表題や
内容から、共通の専門である整数論、ゼータ関数論および黒川氏の専門「絶対数学」の紹介が、
表題書籍の著者たちにとっては、むしろメインテーマと考えることができる。
∵第２章で素数について詳しく述べ、リーマン予想と絶対数学に言及し、第３章と第４章で、
よく似た定理でありながら、多項式の場合と整数の場合では、証明の難易度に大きな差がある
ことを、＊多項式についての定理は、あっさり証明できることを実際に示して＊納得させると
いう意図は、前記の目次から明らか。この全ては、「絶対数学」の意義を示すため。つまり、
「絶対数学」とは「整数を多項式と同じように扱うための仕組み作りを目指す数学」であり、
重要な題材の一つは、素数の整数の中での分布を調べる上で決定的に重要な「ゼータ関数」と
呼ばれる種類の複素数関数の性質を調べることや、必要に応じて新しいゼータ関数を作る際に
絶対数学の方法を適用すること。
「ゼータ関数」についての話の筋を追うには、予備知識として複素数関数の微積分が必要な
ことは明らか。絶対数学についての話の筋を追うには、「有限体」＝「有限集合である体」＝
「有限集合上の四則演算体系」という概念は知っておく必要がある。∵絶対数学は「有限体係数
多項式」と「整数」を同じように扱うことを目指す数学だから。有限体の集合としての要素数は
「（その有限体の）位数」と呼ばれ、一般には「素数のべき乗」で表される数になる。特に重要
かつ基本的なのは素数位数の体。「四則演算の前後で素数で割った時の余りだけに注目する」と
素数位数の体を考えた事になるので、比較的単純な概念。表題書籍では p.64 で定義されている。
「絶対数学」は「「一元体」に基づく数学」と表現 されることがあるが、有限体は前述の通り
最も単純な場合でも素数位数で、少なくとも 0 と 1 の２つの要素が存在する。∴「一元体」は
ある種の比喩的な表現。四則演算を「加減」と「乗除」の２系統に分けて、「乗除」だけ考える
事にして、0 から「加減」での特別な役割を失わせ、1 の重要性を強調したものを（「集合」
としては、0 と 1 の２つの要素があるにも関わらず、「位数１の体」＝「一元体」と見なし、
併せて、素数と 0 と -1 を「「一元体」上の多項式の変数」と見なして、「整数」を「一元体
係数の多項式」であるかのように扱う仕組みが「絶対数学」（p.65 より。文言は変えている）。
表題書籍中での「一元体」の定義／説明は素数位数の体の定義より前の p.40 にある。
「絶対数学」は、望月新一の宇宙際タイヒミュラー理論の４部作論文でも使用されている。
- 「多項式が整数よりやさしいのは変数がはいっているからです。とくに，その変数についての
微分が使えるので，abc予想のときには話がずっと分かりやすくなります。つまり，a+b=c を
微分した a'+b'=c' も成り立つので、情報がたくさん引き出せるのです。整数のときにこの微分
に当たるものを構成することが，望月新一教授の研究で重要な点です」(p.142)
- 「望月教授の研究は絶対数学の見地からも画期的なもの」(p.215)
下記も参照。
https://kaken.nii.ac.jp/ja/file/KAKENHI-PROJECT-15K04781/15K04781seika.pdf
「...
ゼータ関数の零点の研究は極めて困難であるが、宇宙際Teichmüller理論によるabc予想の証明に
おいてはいわゆる「一元体上の微分」に相当する現象が起こっているため、宇宙際幾何学の手法
によるアプローチは有力であると思われる。今回、宇宙際Teichmüller理論とDirichlet L関数の
零点の間に関係が生まれたことはゼータ関数の零点の研究にとって大きな第一歩である。....」
