NUMBERSを勧められた

近所に住むおじさんに、NUMBERSという海外ドラマを観ろと言われて観ました。
天才数学者とFBI捜査官が数学を用いて事件を解決していくドラマで、
有名な数学の公式や理論、問題なんかに加えて
量子論とか宇宙のお話もちょくちょく出てきて普通に面白かったです。
（数学者の主人公の親友が、物理学者のため）

ただ基本的には、有名どころの定理や理論の名前と概要（結論）のみを利用しているだけで
その詳細に触れたりはほとんどしないようでした。
そして、見ているとどうしても違和感を感じてしまうこともちょくちょくありました。

捜査していることが犯人にバレてしまい、犯人の行動パターンの予測が困難になったとき、
「ハイゼンベルグの不確定性原理だ。観測という行為が結果に影響を及ぼす。」
のようなことを言っていて、初めは「おぉ」と思ったのですが、
よくよく考えると、犯人が捜査を知ることによる心情の変化が行動パターンの変化になるわけで、
不確定性原理とはちょっとズレれないかな～とか思ったり。

「ディジタル画像をアルゴリズムにかけることで、鮮明な画像になる」
と言って鮮明化していくのですが、ボヤボヤだった画像から
腕時計の文字盤が見える位に綺麗になったときは、さすがに無理がないか、と思ったり。

とは言っても何れも小さな違和感で、
ドラマは本当に面白かったのでオススメです。
シーズン4まであるっぽいので、息抜きにこつこつレンタルして観ていくことにします。

内心・重心・垂心

外心に引き続き、
確認用の内心・重心・垂心。

かなりやっつけ。

平面図形 外心の説明

塾で平面図形が苦手で、
よく外心内心垂心とかを忘れてしまう生徒がいたので、
確認用の画像をちょくちょくつくっていくことに。

とりあえず外心。

ｎCｋの呼び方とか。あと数列とか。

以前nCkについて、以下の5つの呼び方を書いたけれど他にもあったのでメモ。
「the number of combinations
　 of n elements taken k at the time」
「number of combinations from n choose k」
「the combinations n taken k」
「the combinations n k」
「n chooser k」
「n c k」

新しく以下の2つを追加。
「the combination of n objects taken k at a time」
「the combination of k from n」

細かい言い方の違いはさほど気にならないけど、
「at the time」と「at a time」だけちょっと気になった。
「at the time」・・・当時
「at a time」・・・一度に
という意味らしい。
「当時」って意味は明らかにおかしい。
前回見間違えたかな？と思ってじっくり本を読みなおしたら
「at a time」と書いてありました。
すなわち、
「the number of combinations
　 of n elements taken k at a time」
でした。

それから「数列」を英語で言いたい事があっても
なかなか出てこないことが多いので数列関連も。

数列・・・sequence（progressions）
収束・・・convergence
発散・・・divergence
振動・・・oscillation
フィボナッチ数列・・・ the Fibonacci sequence
コーシー列・・・Cauchy sequences
テイラー級数・・・Taylor's series
マクローリン級数・・・Maclaurin's series

ちなみにフィボナッチ数はFibonacci numbers
フィボナッチで思い出したけど、カナダ人の先生に
「フィボナッチ」ってナにアクセントつけて言ったら
あんまりうまく伝わらなくて、そのアクセントはイタリア（？）っぽいと言われた。
英語圏ではカタカナで書くと「フィボナチ」とフィにアクセントをつけて
小さいツはあまり発音しないっぽい。

f(x) = x^(x^(x^(x^・・・・・・)))が収束する上限とか

高校生のとき世にも美味しい数学という本で読んだ、

f(x) = x^(x^(x^(x^・・・・・・)))

という冪の塔（この呼び方が正しいかは不明）が
収束する上限求めてるのをふと思い出したのでちょっと覚えてるかどうかおさらい。

まず驚いたのは、
f(1.4)は収束するのにf(1.5)は発散すること。
f(√2) = 2になることをグラフを用いて証明してたのは美しかった。

今回は x >= 1の範囲で、f(x)が収束する上限を求めてみる。

f(a)が収束するとき、y = x と y = a^x は交点を持つ。
（理由は省略。グラフを用いて説明可。）
f(a)が収束する上限は、y = x と y = a^x が接するときである。

すなわち、x = a^x が重解を持てばよい。
対数をとって、

log(x) = x*log(a)
⇔ log(a) = log(x) / x

ここで右辺のグラフを描き、log(a)との交点の個数を調べれば良い。

g(x) = log(x) / x とすると、
g'(x) = (1 - log(x)) / x^2

x = e のとき、g'(x) = 0 となり
g(x) は極大値 1/e をとる。

log(a) = 1/e のとき、交点は一つとなり
このときの a、すなわち

a = e^(1/e)

が、f(x)を収束させる最大のxとなる。
ちなみに、

f(e^(1/e)) = e

となる。美しい。
ちなみに、e^(1 / e) = 1.445 であり、確かに1.4と1.5の間にあることがわかる。

0 <x < 1 の範囲では、収束することもあれば振動したりもするようでよくわからない。

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