1 + 2 + 3 + ・・・ = -1/12 がちょこっと身近に

ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ・・・ = -1/12

というゼータ関数の負の値を見たとき、
まるで理解不能でこれまでもよくわかってませんでしたが、
「オイラー探検」という本を読んでいてようやく、
なんとなーく雰囲気がわかってきたのでメモ。
本にはちゃんと説明されてるのですが、わかった部分はちょっとだけ。

まず、平均極限の導入。
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ・・・
という数列は発散（振動）するため極限を持たないが、
解釈を広げるために、数列a_nの平均数列

b_n = (a_1 + a_2 + ・・・ + a_n) / n

が極限を持つとき、b_nの極限をa_nの平均極限と定義。
このとき、先に挙げた数列は

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ・・・ = 1/4

という（第2）平均極限を持つことがわかる（計算は割愛）。
そして、オイラーの和公式とか使ってなんやかんやで

1^m - 2^m + 3^m - ・・・ = (1 - 2^(m+1))ζ(-m)

となり、m = 1を代入すると

1 - 2 + 3 - ・・・ = -3ζ(-1)

となる。
左辺は1/4という平均極限を持つことがわかっているので、

1/4 = -3ζ(-1)
ζ(-1) = -1/12

したがって、
ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ・・・ = -1/12
となっちゃった。

結局はしょりすぎて大部分がわけわかんないままですが、
そのうちなんとか全体像を理解してみたい。
それからこの式は、あくまで平均極限という考えを導入した結果。
けれどなんかすごく興奮します。

2011年センター数学ⅡB 第2問

今年は数学ⅡBの第2問（微積分）が印象的でした。

面積公式を知っていれば、5分程で完答できそうな問題です。

(ア)(イ)(ウ)
y=x^2の(a, a^2)における接線を求めるだけ。（20秒）

(エ)(オ)(カ)
上で求めた接線とx軸との交点を求めるだけ。(15秒)

(キ)(ク)(ケ)
y=x^2と上で求めた接線とx軸で囲まれる面積。
x軸もy=x^2の接線であり、放物線と2つの接線で囲まれる部分の面積は
接点をα,βとすると|β-α|^3/12であるから、答えは|a-0|^3/12 = a^3/12。
公式を知っていれば即求まる。（20秒）

(コ)(サ)(シ)(ス)(セ)
y=x^2と上で求めた接線とx=2で囲まれる面積。
放物線と接線とy軸に平行な直線で囲まれる部分の面積は、
接点をα, y軸に平行な直線のxの値をβとすると
|β-α|^3/3であるから、答えは|2-a|^3/3 = -a^3/3 + 2a^2 - 4a + 8/3
公式を知っていれば即求まる。（40秒）

(ソ)(タ)(チ)(ツ)(テ)(ト)(ナ)(ニ)
上で求めたaの3次式の、最大最小を求める問題。
微分して極値（傾き0）と区間の両端における値を計算し、
最大最小を求めるだけ。（2分）

ざっとかかりそうな時間を考えると3分35秒でした。
マークシートに記入する時間を考えても、5分弱くらいです。
公式を知っている場合、過去最も易しい微積の問題じゃないかなと思います。

コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率 2

センターまで後僅かで塾講師のアルバイトが大変になってきた。
ので、昨日に引き続き確率計算します。

単純な計算はできなかった、コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率。
2000回の試行で100回のバラツキが起こる確率はどれくらいなのか。

コイン投げ試行の二項分布は、試行回数が大きければ正規分布に従うので
正規分布を用いて考えることにする。

平均は2000*0.5=1000
標準偏差は√(2000*0.5*0.5)=10√5
確率変数XがN(1000, (5√10)^2)の正規分布と考え、

(X-1000)/(10√5) = Z

と変換することで、標準化を行う。
ここで、表の出る回数が1100回～2000回となる回数は

P(1100≦X≦2000) = P((1100-1000)/(10√5)≦Z≦(2000-1000)/(10√5))
= P(2√5≦Z≦20√5)
= P(0≦Z≦20√5) - P(0≦Z≦2√5)

と書くことができる。
電卓でP(0≦Z≦2√5)を計算してみると、

P(0≦Z≦2√5) = ∫_{0}^{2√5} (1/√(2π))e^(-z^2/2)dz = 0.4999961279

ちなみに、ほぼ0.5だろうなと思いながら一応P(0≦Z≦20√5)を電卓で叩いてみると、
ご丁寧に1/2と分数表記されて出てきました。
なので結論として、コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率は、

0.5 - 0.4999961279 = 0.0000038721 = 0.00038%

ということがわかります。
途中標準偏差の計算ミスに気がつかず、無駄に時間かかってしまいましたが
なんとか計算できました。多分。

コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率

ちょっと現実逃避したくなったので、ひたすら計算作業。
コインを2000回投げて1100回以上（55%以上）表が出る確率が、
ほぼ0だったのを思い出し、コインの枚数を変えてひたすら計算してみました。


①コインを20回投げて11回以上表が出る確率
　　　　　0.41190147399902 = 41.19%

②コインを100回投げて55回以上表が出る確率
　　　　　0.18410080866335 = 18.41%

③コインを200回投げて110回以上表が出る確率
　　　　　0.089482019766626 = 8.948%

④コインを1000回投げて550回以上表が出る確率
　　　　　8.6526804248815881E-4 = 0.0863%

⑤コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率
　　　　　容量オーバーでコンピュータでは単純に計算できませんでした。（確か0.00何%とか）

以前は二項分布とか正規分布表とか使って計算してたんですが、ほとんど忘れてしまいました。
しかもネットで拾える正規分布表では扱えない数値が出てきてたと思うので、
骨折り損になるかもしれませんが、思い出しながらこれからなんとか計算していきます。

NUMBERSのモンティ・ホール問題

NUMBERSを観ていたら、
主人公チャーリーが"素人のための数学講義"を行っていて、
モンティ・ホール問題を出していました。

そして学生のほとんどが見事に、
「変えても変えなくても等確率」
と引っかかっていました。とても気持よさそうでした。

1ヶ月程前、私も塾で数学を高校生に教える息抜きがてら
モンティ・ホール問題を出したことがあるのを思い出しました。
その生徒は問題を知らなかったにも関わらず、
「変えたほうが得な気がする」と答えちゃいました。
その感性はとても素晴らしいと思いましたが、出題者側としてはションボリしてしまいます。