「確率」 と 「バクチ」 ②

　昨日の続きです。

　最初のクシャミ一回で１００ヶのウイルスを放出し、マスクがその９０％を捕獲する時に、捕獲されるウイルスは９０ヶです。次回からクシャミによるウイルスの供給が無かったと考え、２回目以降のクシャミでマスクに付着したウイルスの内１０％がマスクから引き離されると考えると、２回目に残るのは８１ヶで、３回では７２．９ヶ、・・・、ｎ回目には（Ｖｎ）ヶとして、

Ｖｎ＝１００Ｘ（０．９）＾ｎ

と、なります。４４回目には１ヶ（以下）になり、無限回では０に収束します。ここで、２回目以降のクシャミでもウイルスが必ず１００ヶ放出されると仮定し、マスクに供給される個数と引き離される個数とが釣り合う「回数目」を計算します。マスクにＮ回目で付着している総ウイルス量をＳ（Ｎ）とし、

Ｓ（Ｎ）
＝100x(0.9)^1+100x(0.9)^2+100x(0.9)^3+.....+100x(0.9)^N
＝Σ【ｎ＝１～Ｎ】（１００Ｘ０．９＾ｎ）

です。ここで、マスクに９００ヶのウイルスが付着した時に次のクシャミで１００ヶ追加される事から、１０００ヶの１０％である１００ヶがマスクを通してウイルスが飛散される事が分かります。つまり、マスク着用時にウイルスの飛散量が１００ヶとなる量は、

Ｓ（Ｎ）＝９００

です。

　公式　Σ【ｋ＝ｍ～ｎ】Ａ・Ｒ＾（ｋ－１）＝Ａ［Ｒ＾ｎ－Ｒ＾（ｍ－１）］／（Ｒ－１）　を利用します（但し、｜Ｒ｜＜１）。

Ａ＝１００
Ｒ＝０．９

　Ｓ（Ｎ）の初項は　１００ｘ（０．９）＾１　から、（ｍ＝２）なので

Ｓ（Ｎ）
＝９００
＝１００Ｘ［（０．９＾ｎ）－０．９］／（０．９－１）

を解くと、

０．９＾ｎ－０．９＝－０．９
０．９＾ｎ＝０

となり、ｎ＝無限大　です。つまり、マスクに付着するウイルスの数は９００ヶが最大値になり、クシャミを無限回する必要があります。

　実は、収束する等比級数の最大値を求める公式も有って、

Σ【ｎ＝１～∞】Ａ・Ｒ＾（ｎ－１）＝Ａ／（１－Ｒ）

から、

１００／（１－０．９）＝１０００

で、最初に着用するマスクは新品なので付着ウイルスが０ヶである事から、初項の（ｎ＝１）の時の１００ヶを差し引くと最大　Ｓ（∞）　は同じく９００ヶになります。

　試しに１０回（ｋ＝２～１１）と、２０回（ｋ＝２～２１）のクシャミをした場合は、

Ｓ（１０）
＝１００Ｘ［（０．９＾１１）－０．９］／－０．１
≒１０００Ｘ（０．９－０．３１）
＝５９０

Ｓ（２０）≒７９０・・・（９００ヶを超える事は無い）

で、１１回目は６９ヶ、２１回目は８９ヶのウイルスを撒き散らす事になります。マスクを着用しない場合は１００ヶなので、１１回目で３１％、２１回目でも１１％ほど感染を防ぐ効果があるようですが、累積飛散ウイルス数は「マスク無し」よりも最大で　９００ヶ　少ないだけです。何故なら、この　９００ヶ　は、上記の条件でのマスクに付着する最大数だからです。

　これは、マスクでの「富岳」によるクシャミのシュミレートを参考に１０％を利用したのですが、会話時は判りません。恐らく、息をする限り「ウイルスの透過率」には大差はないような気もします。

　何れにしても、喉から排出されるウイルスの数量（Ａ）に差があっても、呼吸の回数によるマスク装着の有無と他人に対する感染率は、２１回以上呼吸をしたマスクには１１％以下の差しか無い事が証明されます。また、マスクの捕獲率（Ｒ）を変えても、マスクの最大付着量が変わるだけなので、一定回数の呼吸後には「マスク効果」は殆ど無くなります。

　この１１％以下の防護確率に賭けるかどうかは、あなた次第です。