「キセル算」のココロ 導入編

「キセル算」のココロ 導入編

 

5年生以上のみなさんなら｢キセル算｣について学習したことがあるかもしれません。

 
｢キセル算｣という名前には聞き覚えがなくても、下のような問題だよと言われれば「あ、見たことがある！」という人も多いのではないでしょうか。

 

 

「ああ、これは、知ってるよ！とりあえず…」

 

 

「こんな風に途中の数字を全部消してしまう！あとは、分母の最初と最後の数字を見ると2と7が残っているので、と引き算にして計算すればいいんだよねー」

 

なんて、計算のやり方だけを覚えている人が結構いるようです。

 

たしかに結論はこれで合っているですが、そもそもなぜ引き算にするのでしょうか？なぜ、途中の数字を消してしまってよいのでしょうか？

 

このあたりの計算のしくみがきちんと分からないままでは、少しひねられただけで間違えてしまいます。
 

「私はしっかり分かってる！」という人は大丈夫。でも、｢やり方は覚えているけど、これで正しく計算できる理由までは…｣という人は、この機会にきちんと理解しておきましょう。

 

途中を消して筆算にできる理由とは？

 

そもそも、この式に現れるなどの部分は、
 

 

のように、変形できます。確かに、計算してみると上の2つの式の値は、とで、確かに両辺が等しいですね。
そこで、もとの式全体は、

 

 
と変形できることになります。確認してみてくださいね。

 

さて、こうなるとから
までの分数は、－と＋をともなって2回ずつ現れていますから…
 

 
こんどはこのように堂々と(？)消すことができ、たしかにと計算できることが分かりました。

 
以上で見てきたように、「キセル算」の計算をするならば、のように分数の差に変形できることは少なくとも理解しておかなければなりません。

 

ところで、両辺を計算してみれば確かにになっていることは分かりますが、なぜこのように変形できてしまうのか、ちょっと不思議に思う人もいるでしょう。そんな人には算数のセンスがあるかもしれません。

 

実は、図形的に考えてみるとこの変形の意味や仕組みがとらえやすくなります。

 

そして、やり方だけを覚えている多くの人が間違えてしまう、
 

 

のように少し形を変えられた問題も、本当に仕組みが分かっていれば大丈夫。

 

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法を知らないあなたも、まずは実際にどんな解き方をするのか見てみましょう。
実際に3355と2379の最大公約数を求めてみます。

このように
小さい数で大きい数を割る
あまりで割る数を割る
さらにあまりで割る数を割る…
と割り切れるまで続けます。そして最後の割る数が最大公約数となるのです。

ユークリッドの「互除法」とは「割り切れるまであまりで互いに割り（除法）続ける」という意味なんですね。

ユークリッドの互除法の証明

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どうしてユークリッドの互除法で最大公約数が求まるのでしょうか。
直感的に理解するのはなかなか難しい計算方法なので、正確に証明してみます。

ユークリッドの互除法を証明する前に、

ということを証明します。

ということがわかりました。
今証明したのは、
「割られる数と割る数の最大公約数と割る数とあまりの最大公約数は一致する」
ということです。
言い換えると
「ユークリッドの互除法の操作を何回行っても、割られる数と割る数は一致する」
ということになります。
割り切れたときには、割る数が最大公約数なのは自明です。
よって、「割り切れるまでユークリッドの互除法を続けたときの最後の割る数が最大公約数である」ということが言えるのです。

問題集やるだけではダメです。 理解する

問題集やるだけではダメです。

理解しましょう。

間違えるのは仕方ないのですが、次に取り組んだときには解けるようになりましょう。それが成長ですから。

巻末には解答（数字）だけが載っているページと別冊で解説が付いています。
しかし、サラッと解説しているだけですので、理解しづらい部分もあります。

別で攻略本もあります。公式だけで解くのではなく、図を使ったり、数量をイメージした解き方を身につけたいのであればおすすめです（本当はコレが大事）