定積分の導入
この中でぱっと見、簡単そうな
問い４ (2) ∫-11√(1-x2) dx (-1 から 1 の区間で定積分)
という式を試しに解いてみた。
電卓でやると、1.57079632679 と出てきた。(HP 50g)
そして、問題に「簡単に図示しなさい」とあったので、y=√(1-x2) のグラフを考えてみる。
y=0 の時 x=1、y=±1 の時 x=0 ... この辺であれ？？？
y≧0 の範囲だけを考えることを条件に両辺を二乗してみると...
y2 = 1-x2 で、x2 を移項してやると
え～と、これは円の方程式ですね(^^; 今頃気づきました。 y が正の値なので円の上半分。
ということは円の面積の半分だから πｒ2/2 で、r = 1 だから
3.14 * 1 / 2 = 1.57 で当たり。
じゃ、もう一方の
問い４ (1) ∫02(3x-x2) dx (0 から 2 の区間で定積分)
グラフを考えると y切片は
y=-x2+3x
=x(-x+3)
よって y 切片は x=(0,3)
この関数の頂点は、微分して y' = -2x+3
y' = 0 の時、x = 3/2 = 1.5
y の式へ戻して y 座標を求める。
y= 4.5 - 2.25 = 2.25
(x,y) = (1.5, 2.25) を頂点に持つ。また(y' の x の係数が負になってるし)切片の位置からも上に凸となる。
よって (x,y) = (0, 0), (1.5, 2.25), (3, 0) を通る二次関数のグラフとなる。
で、どうやったら面積が出てくるんだ？
取り敢えず y を積分(Y)してやると
Y = -1/3 * x3 + 3/2 * x2 + C (C: 積分定数)
で、引き算か。
Y(2) = -8/3 + 12/2 + C = - 8/3 + 6 + C = 10/3 + C
Y(0) = 0 + C
Y(2) - Y(0) = 10/3 + C - C = 10/3 = 3.333...
で、電卓でやってみると... お、一致。
しかしまぁ、完璧に忘れてるなぁ
この中でぱっと見、簡単そうな
問い４ (2) ∫-11√(1-x2) dx (-1 から 1 の区間で定積分)
という式を試しに解いてみた。
電卓でやると、1.57079632679 と出てきた。(HP 50g)
そして、問題に「簡単に図示しなさい」とあったので、y=√(1-x2) のグラフを考えてみる。
y=0 の時 x=1、y=±1 の時 x=0 ... この辺であれ？？？
y≧0 の範囲だけを考えることを条件に両辺を二乗してみると...
y2 = 1-x2 で、x2 を移項してやると
え～と、これは円の方程式ですね(^^; 今頃気づきました。 y が正の値なので円の上半分。
ということは円の面積の半分だから πｒ2/2 で、r = 1 だから
3.14 * 1 / 2 = 1.57 で当たり。
じゃ、もう一方の
問い４ (1) ∫02(3x-x2) dx (0 から 2 の区間で定積分)
グラフを考えると y切片は
y=-x2+3x
=x(-x+3)
よって y 切片は x=(0,3)
この関数の頂点は、微分して y' = -2x+3
y' = 0 の時、x = 3/2 = 1.5
y の式へ戻して y 座標を求める。
y= 4.5 - 2.25 = 2.25
(x,y) = (1.5, 2.25) を頂点に持つ。また(y' の x の係数が負になってるし)切片の位置からも上に凸となる。
よって (x,y) = (0, 0), (1.5, 2.25), (3, 0) を通る二次関数のグラフとなる。
で、どうやったら面積が出てくるんだ？
取り敢えず y を積分(Y)してやると
Y = -1/3 * x3 + 3/2 * x2 + C (C: 積分定数)
で、引き算か。
Y(2) = -8/3 + 12/2 + C = - 8/3 + 6 + C = 10/3 + C
Y(0) = 0 + C
Y(2) - Y(0) = 10/3 + C - C = 10/3 = 3.333...
で、電卓でやってみると... お、一致。
しかしまぁ、完璧に忘れてるなぁ