算額絵馬 その2

半径Rの半円の中に直径を斜辺とする直角三角形ABCがあり、直角三角形に内接する円と、辺と弧に接する最大の円の半径が等しくrであるとき、Rとrの比を求めよ。

 

 OP=OQ-PQ      BC:OP=2:1     ∴2(R-2r)=a
  △ABC=(a+b+2R)r/2=ab/2     (a+b+2R)r=ab
  r=ab/(a+b+2R)
   =ab(a+b-2R)/ (a+b+2R)(a+b-2R)
   =ab(a+b-2R)/(a^2+2ab+b^2-4R^2)
    =ab(a+b-2R)/2ab           (∵a^2+b^2=4R^2)
    =(a+b-2R)/2
  a+b=2r+2R   b=2r+2R-2(R-2r)
            =6r
   (a+b+2R)r=abより(a+6r+2R)r=6ar
  a+6r+2R=6a
  6r+2R=5a=10(R-2r)　　　∵2(R-2r)=a
  26r=8R    13r=4R     よってR:r=13:4

 

これは難問でしたねぇ～

三平方の定理まで江戸時代に知っていたとは。。。ホント昔の人達は偉人が多いですね。

奉納した人はおそらく名も知れない庶民でしょうからね。

 

ちなみに　÷は／　　2乗は「^2」で表しています。