一般的にweb上のコンテンツは著作権の対象です。そのため、許可されていないコンテンツを無断でコピーすると違法になります。
著作権・知的財産権については下記サイトでご確認ください。
特許庁 > 制度・手続 > 特許 > 制度 > 知的財産権制度の概要 > 知的財産権について
https://www.jpo.go.jp/seido/s_gaiyou/chizai02.htm
YouTubeの「利用規約」
https://www.youtube.com/static?template=terms&hl=ja&gl=JP
によると
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5. お客様によるサイト上のコンテンツの使用
(途中略)
お客様は、「ダウンロード」または同様のリンクが本コンテンツについて本サービス上でYouTubeにより表示されている場合を除き、いかなる本コンテンツもダウンロードしてはなりません。お客様は、YouTubeまたは関連する本コンテンツのライセンサーからの事前の書面による同意なく、コピー、複製、送信可能化、出版、翻案、配布、放送、表示、販売、ライセンス付与又はその他一切の他の目的のために利用されてはなりません。YouTube及びそのライセンサーは、本コンテンツ内で並びに本コンテンツに対して明示的に付与されていない、一切の権利を留保します。
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となっています。
事前に許可されている、または、許可を得たコンテンツをダウンロードする場合は、例えば、下記サイトが参考になります。
https://matome.naver.jp/odai/2146061673118762301
https://www.thxyoutube.com/watch/
http://jp.snatchvid.com/