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図形を使った公式の証明_マーチン・ガードナーの数学ゲームI第10話　日本経済新聞出版社

	マーチン・ガードナーの 数学ゲーム 1 (別冊日経サイエンス 176)
	マーチン・ガードナー
	日本経済新聞出版社

　紹介されてたΣk^2やΣk^3の図形的な証明をみて、感激！。
　まずは1からnまで順に二乗した数の総和Σk^2(Σの下はk=1, 上はn）について
Σk^2(Σの下はk=1, 上はn）
=1^2 + 2^2 + 3^2 + ・・・ + k^2 + ・・・ +(n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2

=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
1x1 2x2 + 3x3 + ・・・ +111k x k111+ ・・・・・・+ 111n x n111
※直前モデルの(n-2)^2 と (n-1)^2は省略

=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
111 232 + 353 + ・・・ +112k-1111+ ・・・・・・+ 1112n-1111
上の数字は赤で示した1の個数。一つ前の項から増加した1の数です。そして、それは片側に囲む感じでもあるって、分かりにくいですよね。例えば、k^2 は縦横にk個ずつ配置で表現されるから面積はk×kで(k-1)^2で格子状に1を並べた状態から2k-1個の1を片側に囲む感じで並べる（赤色の１で表記）。これは縦横にk-1枚ずつ格子状に配置された状況に片側の縦横の辺にk枚ずつ並べていくと1つ重なることになるので、k+k-1で2k-1個を加えればよいことが分かる。
　1つ前の(k-1)^2もさらにその1つ前の縦横にk-2個ずつ並べた(k-2)^2の1の正方形に（k-1）+（k-1）-1=2k-3加えればよいが先の2k-1のkの代わりにk-1を当てはめるればよいので2(k-1)-1=2k-3個の1を片側の縦横に囲むように並べればよいことがわかる。1番最初はk=1なので2×1-1＝1、次は2×2-1＝3。なので、赤の1での並べ方で考えるとk^2=1+3+5+…+(2k-1)が成り立つこともわかる。

　上式で正方形状に並べていた1を1, 3, 5, …のように直角三角形状に並べなおすと、
Σk^2(Σの下はk=1, 上はn）
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111
=1 +11 + 111 + ・・・ +111・・・111+ ・・・・・・+ 111・・・・・・111

111 132 + 135 + ・・・ +135…2k-1111+ ・・・・・135……2n-1111
※それぞれの（縦の）列にある1の個数を区別する記号なしに羅列。

={1}+{1+3}+{1+3+5}+…+{1+3+5+…+(2k-1)}+…
+{1+3+5+…+(2n-5)}+{1+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)}+{1+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)}
※(n-2)^2 と (n-1)^2についても表記

上の式の向き変えてみると
=1
+1+3
+1+3+5
　…
+1+3+5+…+(2k-1)
　…
+1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-5)
+1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-5)+(2n-3)
+1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)となる。このとき、
↑1はn個ある。
　↑3はn-1個ある。
　　↑5はn-2個ある。
　　　　…
　　　　　↑(2k-1)はn-(k-1)=n-k+1個ある。
　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　↑(2n-5)はn-(n-3)=3個ある。
　　　　　　　　　　　　　↑(2n-3)はn-(n-2)=2個ある。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2n-1)はn-(n-1)=1個ある。

ここでnの項(下の行、近い行）から考えると
(2n-1)が1個なので1×(2n-1)の長方形が1つあると考え、さらに1^2=1×1の1を2つあわせて
11111・・・・・・1111111
1×(2n+1)※の長方形が1つ　※(2n-1)＋1×2=2n+1

(2n-3)はn-(n-2)=2個なので2×(2n-3)の長方形が1つあると、考えさらに2^2=2×2の4を2組あわせて
11111・・・・・・1112222
11111・・・・・・1112222
1×(2n+1)※の長方形が2つ　※(2n-3)＋2×2=2n+1

(2n-5)はn-(n-3)=3個なので3×(2n-5)の長方形が1つあると考え、さらに3^2=3×3の9を2組あわせて
11111・・・・・・1333333
11111・・・・・・1333333
11111・・・・・・1333333
1×(2n+1)※の長方形が3つ　※(2n-5)＋3×2=2n+1

(2k-1)はn-(k-1)=n-k+1個なので（n-k+1）×(2k-1)の長方形が1つあると考え、さらに（n-k+1）^2=（n-k+1）×（n-k+1）のn^2+k^2+2(n-k-nk)+1を2組あわせて
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
1×(2n+1)※の長方形がn-k+1個　※(2k-1)＋（n-k+1）×2=2n+1

5はn-2個なので(n-2)×5の長方形が1つあると考え、さらに(n-2)^2=(n-2)×(n-2)の(n-2)^2を2組あわせて
1×(2n+1)※の長方形がn-2個　※5＋(n-2)×2=2n+1

3はn-1個なので(n-1)×3の長方形が1つあると考え、さらに(n-1)^2=(n-1)×(n-1)の(n-1)^2を2組あわせて
1×(2n+1)※の長方形がn-1個　※3＋(n-1)×2=2n+1

1はn個なのでn×1の長方形が1つあると考え、さらにn^2=n×nのn^2を2組あわせて
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
11111・・・・・・
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
11111・・・・・・
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
1×(2n+1)※の長方形がn個　※1＋n×2=2n+1

ということで一行に文字数2n+1なテキストがΣk(Σの下はk=1, 上はn）行分現れました。
続けて並べ直すと

11111・・・・・・1111111←1×1が2組加わり1×(2n+1)の長方形が1つ　
11111・・・・・・1112222
11111・・・・・・1112222←2×2が2組加わり1×(2n+1)の長方形が2つ
11111・・・・・・1333333
11111・・・・・・1333333
11111・・・・・・1333333←3×3が2組加わり1×(2n+1)の長方形が3つ
11111・・・・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・
11111・・・・・・・kkkk・・・←k×kが2組加わり1×(2n+1)の長方形がk個
11111・・・・・・
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
11111・・・・・・
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
11111・・・・・・
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn
1nnn・・・11111・・・nnn←n×nが2組加わり1×(2n+1)の長方形がn個

となりました。さて、追加した赤字や青地もその追加の仕方から、それぞれΣk^2(Σの下はk=1, 上はn）ですから、長方形の文字数は3個分のΣk^2(Σの下はk=1, 上はn）。ということは、…。

　次は1からnまで順に三乗した数の総和Σk^3(Σの下はk=1, 上はn）についてといってもΣk^2も書きかけなのでメモ、試しです。ヒントのつもりはないですが推測などして待っていただくのも一考かも。

X44444444444444444444X
X44444444444444444444X
X44444444444444444444X
X44444444444444444444X
X44444444444444444444X
X44443333333333334444X
X44443333333333334444X
X44443333333333334444X
X44443332222223334444X
X44443332222223334444X
X44443332211223334444X
X44443332211223334444X
X44443332222223334444X
X44443332222223334444X
X44443333333333334444X
X44443333333333334444X
X44443333333333334444X
X44444444444444444444X
X44444444444444444444X
X44444444444444444444X
X44444444444444444444X
X44444444444444444444X

数字1テキストで縦横各1の四角を表す。1は面積1の四角で22
数字1テキストで縦横各1の四角を表す。1は面積1の四角で22は面積4の四角。
ただし、英字Xは複数のk, n-2, n-1, nなどです。推し計りいただけますと助かります。

ということで、どうして？はさておき、どうなっているかをみてみましょう。
1^2の表現である面積1の1の四角の数は4(赤2つ・青2つ)、
2^2の表現である面積4の2の四角の数は8(緑4つ・黄4つ)、
3^2の表現である面積9の3の四角の数は12(赤6つ・青6つ)、
4^2の表現である面積16の4の四角の数は16(緑8つ・黄8つ)になっているので

k^2の表現である面積k^2のkの四角の数は4×kの4k個、
(n-2)^2の表現である面積(n-2)^2のn-2の四角の数は4×(n-2)の4n-8個、
(n-1)^2の表現である面積(n-1)^2のn-1の四角の数は4×(n-1)の4n-4個、
n^2の表現である面積n^2のnの四角の数は4×nの4n個になると推測できます。

てな感じで敷き詰められた四角達をあわせた面積というのは。

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