→♂♀←_no.10_2017:さらに微分、極限としての関数の姿、テトラちゃんの試み

→♂♀←_no.10_2017:さらに微分(9.3.2)、極限としての関数の姿(9.3.4)、テトラちゃんの試み(9.6.1)_数学ガール　結城浩　SBクリエイティブ

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記憶だけで書いていた→♂♀←の前身をはじめた頃みたいに書きたくなった。

sin曲線を０辺りの多項式の寄せ集めと考えて
sin x = a0x^0 + a1x^1 + a2x^2 + a3x^3 +・・・
sin x は(0, 0)を通り、x^0=1なのでa0=0

微分すると
cos x = a1 + 2*a2x + 3*a3x^2 + 4*a4x^3 +・・・
cos x は（0, 1）を通るのでa1=1(=1/1!)

微分すると
-sin x = 2*a2 + 3*2*a3x^1 + 4*3*a4x^2 + 5*4*a5x^3 +・・・
-sin x も(0, 0)を通るのでa2=0

微分すると
-cos x = 3*2*a3 + 4*3*2*a4x^1 + 5*4*3*a5x^2 +・・・
-cos x は(0, -1)を通るのでa3=-1/3!

微分すると
sin x = 4*3*2*a4 + 5*4*3*2*a5x^1 + 6*5*4*3*a6x^2・・・
sin x は(0, 0)を通るのでa4 = 0

微分すると
cos x = 5*4*3*2*a5 + 6*5*4*3*2*a6x^1 + 7*6*5*4*3*a7x^2 +・・・
cos x は(0, 1)を通るのでa5 = 1/5!

同様に微分を続けて行くことでakの値を推し量ることができ、
sin x = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! +・・・
なので両辺をxで割って
sin x /x = 1/1! - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + x^8/9! +・・・
これを式テとします。

で、テトラちゃんの試みでsin x の解がnπなので
sin x = kx(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)・・・(x-nπ)(x+nπ) ※k：係数

xを左辺に（両辺に1/xを掛け）
sin x / x = k(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)・・・(x-nπ)(x+nπ)

係数kについてlim sin x / x = 1になるイメージに合わせて　※:limの下はn→0
k=(-1/ π^2))(-1/ 4π^2)(-1/ 9π^2)・・・(-1/ (nπ)^2)とし
各±n解に - 1/ (nπ)^2 = (-1/ nπ) (1/ nπ)を掛け
sin x / x = (-1/ π)(x-π)(1/ π)(x+π)　(-1/ 2π)(x-2π)(1/ 2π)(x+2π)　(-1/ 3π)(x-3π)(1/ 3π)(x+3π)・・・(-1/ nπ)(x-nπ)(1/ nπ)(x+nπ)より
sin x / x = (1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)(1-x/3π)(1+x/3π)・・・(1-x/nπ)(1+x/nπ)

(a+b)(a-b) = a^2-b^2の形があるので
sin x / x = (1-(x/π)^2) (1-(x/2π)^2) (1-(x/3π)^2)・・・(1-(x/nπ)^2)
でこれを式ラとします。

式テとラは等しく、二つの式のx^2の係数を比較すると
式テは
-1/3! = -1/6

式ラは
-(1/π)^2 -(1/2π)^2 - (1/3π)^2 -・・・- (1/nπ)^2 = - 1/π^2 * Σ 1 / n^2 :Σの下はn=1、上は∞

テとラの試みより
-1/6 = - 1/π^2 * Σ 1 / n^2 :Σの下はn=1、上は∞
Σ 1 / n^2 = π^2 / 6 :Σの下はn=1、上は∞

丸覚えでなく、考え方で導出できたよ。オイラーは偉大だ。

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