ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ・・・ = -1/12
というゼータ関数の負の値を見たとき、
まるで理解不能でこれまでもよくわかってませんでしたが、
「オイラー探検」という本を読んでいてようやく、
なんとなーく雰囲気がわかってきたのでメモ。
本にはちゃんと説明されてるのですが、わかった部分はちょっとだけ。
まず、平均極限の導入。
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ・・・
という数列は発散（振動）するため極限を持たないが、
解釈を広げるために、数列a_nの平均数列
b_n = (a_1 + a_2 + ・・・ + a_n) / n
が極限を持つとき、b_nの極限をa_nの平均極限と定義。
このとき、先に挙げた数列は
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ・・・ = 1/4
という（第2）平均極限を持つことがわかる（計算は割愛）。
そして、オイラーの和公式とか使ってなんやかんやで
1^m - 2^m + 3^m - ・・・ = (1 - 2^(m+1))ζ(-m)
となり、m = 1を代入すると
1 - 2 + 3 - ・・・ = -3ζ(-1)
となる。
左辺は1/4という平均極限を持つことがわかっているので、
1/4 = -3ζ(-1)
ζ(-1) = -1/12
したがって、
ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ・・・ = -1/12
となっちゃった。
結局はしょりすぎて大部分がわけわかんないままですが、
そのうちなんとか全体像を理解してみたい。
それからこの式は、あくまで平均極限という考えを導入した結果。
けれどなんかすごく興奮します。
というゼータ関数の負の値を見たとき、
まるで理解不能でこれまでもよくわかってませんでしたが、
「オイラー探検」という本を読んでいてようやく、
なんとなーく雰囲気がわかってきたのでメモ。
本にはちゃんと説明されてるのですが、わかった部分はちょっとだけ。
まず、平均極限の導入。
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ・・・
という数列は発散（振動）するため極限を持たないが、
解釈を広げるために、数列a_nの平均数列
b_n = (a_1 + a_2 + ・・・ + a_n) / n
が極限を持つとき、b_nの極限をa_nの平均極限と定義。
このとき、先に挙げた数列は
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ・・・ = 1/4
という（第2）平均極限を持つことがわかる（計算は割愛）。
そして、オイラーの和公式とか使ってなんやかんやで
1^m - 2^m + 3^m - ・・・ = (1 - 2^(m+1))ζ(-m)
となり、m = 1を代入すると
1 - 2 + 3 - ・・・ = -3ζ(-1)
となる。
左辺は1/4という平均極限を持つことがわかっているので、
1/4 = -3ζ(-1)
ζ(-1) = -1/12
したがって、
ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ・・・ = -1/12
となっちゃった。
結局はしょりすぎて大部分がわけわかんないままですが、
そのうちなんとか全体像を理解してみたい。
それからこの式は、あくまで平均極限という考えを導入した結果。
けれどなんかすごく興奮します。
