ドコモメールをGmailへ移動（コピー）するのにメールソフトthunderbirdを使って旨くいきました。
これでドコモから完全に撤退できます。ドコモサーバ上の古いメール（送信、受信）もすべて移動できました。
前提として、ドコモメールのWeb版を使える状態にあることです。（Web使用用のパスワードが必要。ドコモのページを参照して下さい）
手順は
（１）メールソフトthunderbirdをPCにインストール。
（２）ドコモメールアカウントをトthunderbirdに追加する。
（３）Gmailアカウントをトthunderbirdに追加する。
ラベルも表示されます。
（４）ドコモメールの受信フォルダ内のメールを選択して、右クリックから移動（又はコピー）先を選択する。
（５）移動、コピーされます。移動の時はドコモメールのフォルダーから削除されます。Gmailのサーバ上に残ります。
ローカルフォルダー内に任意のフォルダを作って、移動やコピーもできます。（PC上に保存されます）
応用編として、Gmailのメールアカウント間で移動、コピーが可能です。