星光９

2014

ウムム

ここまでくると、あとは、

AB：AD＝EB：EC

そして、ＡＤが４ｃｍ、ＣＥは７ｃｍ。△ＥＡＣは二等辺三角形だったので、ＡＥも７ｃｍ。とすると、

AB：４ ＝（AB ＋ ７）：７が成り立ち、

４ＡＢ ＋ ２８ ＝ ７ＡＢとなり、

３ＡＢ ＝ ２８

つまり、ＡＢは２８／３ ｃｍ（答え）

星光８

「長さ１００ｍの電車Ａは、トンネルＰに入ってから抜けるのに５０秒かかります。長さ８０ｍの電車Ｂは、トンネルＱに入ってから抜けるのに７４秒かかります。トンネルＱの長さは、トンネルＰの長さの２倍で、電車Ａの速さは電車Ｂの速さの ０．８倍です。
（１）電車Ａの速さは秒速何ｍですか。
（２）トンネルＰの長さは何ｍですか。 」　2008

フム

電車Ａの速さは電車Ｂの速さの ０．８倍ということは、電車Bの速さは電車Aの速さの１．２５倍な

（１）電車Aの秒速をAｍ、トンネルPの長さをPmとすると、

（１００＋Ｐ）÷ Ａ＝５０
（８０＋２Ｐ）÷ １．２５Ａ＝７４

が成り立つ

５０ ×  A  ＝ １００ ＋ Ｐ 　→　　　　  　１００ ×  A  ＝ ２００ ＋２Ｐ

７４ × １．２５Ａ ＝ ８０ ＋ ２Ｐ　→　９２．５ ×  A  ＝ 　８０ ＋２Ｐ

したがって、７．５ ×  A  ＝ １２０

A  ＝１６ｍ／秒 （答え）

（２）５０ ×  A  ＝ １００ ＋ Ｐ について、Aが１６なので、Pの長さは、

５０ ×  １６  ＝ １００ ＋ Ｐ となり、P は７００ｍ（答え）

フェリス６

2020

これはベーシックな良問だろう

どちらでも青の面積をこたえるには、半円OABから緑と赤の面積をひけばよい。特に、（２）では、ピタゴラスの定理を用いる。まぁ、９０度６０度３０度の直角三角形の長辺と短辺の長さの比は ２：１ っての利用するのか。

フェリス５

「３つの整数 ２３４２、２８９４、３５６１ を、１以外の整数 ア で割ると余りがどれも イ になります。ア と イ を答えなさい。」　2023

言い換えると、
① ア になにかをかけた「積」に イ をたすと２３４２
② ア になにかをかけた「積」に イ をたすと２８９４
③ ア になにかをかけた「積」に イ をたすと３５６１

ということになろう

①の積に イ をたした数と ②の積に イ をたした数の差は、
（２８９４＋ イ） ー （２３４２＋ イ）＝５５２

②の積に イ をたした数と ③の積に イ をたした数の差は、

（３５６１＋ イ） ー （２８９４＋ イ）＝６６７

ユークリッド互除法を用いると、
６６７÷５５２は、１あまり１１５
５５２÷１１５は、４あまり９２
１１５÷９２は、１あまり２３
９２÷２３は、４

したがって、最大公約数は２３（公約数は他に１。パッと見て２３は素数なので）

となり、①②③の積を必ず割り切る１以外の整数である ア は、２３（答え）

イ について試してみると、
２３４２÷２３＝１０１・・・１９
２８９４÷２３＝１２５・・・１９
３５６１÷２３＝１５４・・・１９

したがって、イ は１９（答え）

これもやりかたを知らなけりゃ、厄介だろうな

こういった設問は難しくもなく簡単でもない。まさに厄介な設問だ。

たとえば、

▢ ある数とある数を割り切るその数は、ある数とある数の差も必ず割り切る。言い換えれば、その数の倍数とその数の倍数の差は、必ずその数の倍数である。

▢ たとえば、ニック１８、クック８１。差は６３で９の倍数。当然のことながら、どぢらもその数を重ね足しているに過ぎないのだから。

こういうのを数の性質といおうか。数のもつ観念、数的観念な。