地球を８０００万個に分割してみた - 重心と質点の話

地球を８０６２万個の立方体に分割すると、その１辺の長さは２３．８キロメートル、立方体１つの質量は７４．１兆トンになる。これが僕がこれまでの記事で「微小立方体」と呼んでいたものの正体だ。

＊　これまでの経緯

「物体の全質量は大きさのない質点にすべて集中しているものとして計算を行う。」というニュートン力学の大前提に疑問を持ち、ニュートンの公式を一般化し「大きさのある球体によって発生する引力の大きさ」を極座標で計算する３重積分の式を数式計算ソフトMaximaで解けるか試してみた。そして前回「引力の積分式の解析解が得られた！ - 重心と質点の話」という記事で答が出たと思ったのだが、前提にした積分式に誤りを見つけ、再計算が必要になったというのがこれまでの状況だ。

その後、正しい積分区間条件でやり直しているのだがなかなかうまくいかない。前提となる積分式を求めるための幾何計算は何度も図に書いて確認し、検算も行った。Maximaが間違えて計算してるのか、それとも解けるはずがない問題なのか不明だ。

当初得られた「地球の北半球だけ」を考慮した式に具体的な値を入れると引力は計算できるのだが、観測点の高度が低いときの値がだいぶずれていた。けれども高度が高くなると値が本来あるべき値に一致してくる。だから完全に間違っているとは言えないのだ。それでも「南半球」の引力を計算しようとすると、とたんに全くおかしな値が出力される。どうも何か変だ。

あれほど長い途中経過の数式を見事に凝縮してしまった「神様の手品」は、見せかけだけのクリスマスプレゼントだったのかどうかは、まだ僕にはわかっていない。


＊　解析解で引力を計算することの本当の意味

そもそも解析解が正しく求められ、正しい引力の数値がそこから引き出されたらそれはうれしいことなのだが、それには物理現象の確認という以上の意味がある。およそ３２０年前にニュートンが提唱した球体における質点の定理（＝決め事）が３世紀という長い時を経てついに「数学的に証明済み」になることだからだ。物理学史上での意義はとても大きい。

その証明は将来物理学に貢献することはないのでノーベル賞は無理だが「イグノーベル賞」には十分値すると思う。益川先生のように文部科学大臣には会えないと思うが、NHKの「サイエンスZERO」に呼ばれて安めぐみさんとお話できる可能性は十分にあるだろう。そして番組収録終了後に一緒にお食事するチャンスだってある。友達にだってなれるかもしれない。だから僕はこの問題をあきらめるつもりはない。(後日追記：この定理は証明されていた。次の記事を参照。）


＊　パソコンでの数値計算

ともかくニュートンの質点定理（＝物体の質量を大きさのない質点に集中させる）が正しいのかを「大きさのある完全に球体と仮定した地球」で調べてみようと思い「北極点に１キログラムの物体を置く」という条件で、パソコンを使った数値計算（シミュレーション）をしてみた。

結果を先に言ってしまうと「ニュートンの質点定理は正しかった」のだ。計算出力はこのとおり。たくさんの微小立方体から実際に同じ数値がでくるのは当然なのだが不思議な気がする。だってものすごい数のベクトル和なのだから。まさに線形性の勝利と言えよう。

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観測点の地表からの高度(Km)...: 0
ニュートン方式での引力.......: 9.832188
微小立方体分割方式での引力...: 9.805374
上の2方式での誤差(%).........: 0.272714
地球の分割個数...............: 80624754
微小立方体の１辺の長さ (Km)..: 23.757463
微小立方体１個の質量 (兆トン): 74.096350
北半球が引力に寄与する割合(%): 79.315630
地球体積の数値積分での誤差(%): 0.005660
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地表での重力加速度の測定値は 9.8m/s^2 (正確には9.80665)なので、地球のあらゆる部分の微小引力が１つの物体を引き寄せる引力にまとめられるという理屈は１キログラムの物体を引っ張る微小引力の総合計が 9.8N であることを裏付けている。

今回の数値計算でもこの9.8という数値が得られるかがポイントとなるわけだ。ニュートン方式（理論値）のほうがずれているのは問題ではない。これは地球を完全に球体だとし、平均密度の値から求めた数値なので実際の測定値とのずれが生じて当前なのだ。いちばんの関心事は理論値と微小立方体分割方式の「ずれ」のほうである。

興味深かったのは地球の北半球が寄与する引力の割合が７９．３％だということだ。北半球は北極点に置いた物体を斜め下方向に引っ張る割合が大きいからロスする力も大きいと想像していたが、南半球のほうが距離が長いので全体の引力への貢献度はずっと小さいのだ。観測点の距離が北極点から上空に離れるにつれて両者の割合は５０％ずつに近づいていく。


＊　分割数をいくつに設定するか

直交座標系で数値計算することにした。地球の分割数を増やせば計算精度はあがるはずだ。けれども計算時間は分割数に比例してかかるし、分割数を増やせば１つの立方体の体積や微小引力は小さくなり、それを総合計したときの「桁落ち」で精度は落ちたり、計算の途中の割り算で「桁あふれ」すると精度どころの話ではなくなってしまう。これは計算に使用するC言語の倍精度型変数の有効桁数による制限なのだ。結果の詳細は以下のリンクをご覧いただきたい。

実行結果詳細１：分割個数はどこまで増やせるか
http://tonechan.or.tp/personal/simulation/gravity/gravity_result1.txt

その結果、８０６２万個程度でいちばん精度がよく、計算の限界だということがわかった。冒頭でも述べたがこの分割数だと立方体の質量は７４．１兆トンで１辺の長さは２３．８キロメートルになる。とても「微小」とは言えない。（笑）


＊　観測点の高度を上げると

観測点の高度を上げると次のようになった。引力がぐんぐん小さくなるのは予想どおりだが、北半球と南半球の引力の割合が５０％に近づいていく様子は、なるほどと思ってしまう。

実行結果詳細２：観測点の高度を上げると引力はどう減るか？
http://tonechan.or.tp/personal/simulation/gravity/gravity_result2.txt


＊　プログラムと計算時間について

できるだけ手っ取り早く作りたかったので、計算速度や精度を向上させる工夫は全くせず、ロジックを簡単にすることだけに集中した。計算に使ったC言語のソースプログラムは、次のリンクからご覧いただきたい。斜めから引っ張る引力から真下に引っ張る引力の成分を求めるところで三角関数の余弦定理を使っているので高校生以上でないと難しいかもしれないが、プログラムとしては初心者でもわかるシンプルなものだ。「アルゴリズム事典」のような本に登場する「ナントカ法」などと呼ばれる高度な技は一切使っていない。

gravity1.c: 地球を微小立方体に分割して万有引力を計算する。
http://tonechan.or.tp/personal/simulation/gravity/gravity1.c.txt

いざ計算を実行するにあたってとうとう「とねスパコン」の出番がきたかと期待したが、その必要はなかった。たった１台のパソコンで８０６２万個の微小立方体の引力の合計は１２．５秒で計算できてしまったのだ。CPUは Celeron 2.6GHz である。今さらながらパソコンの能力に驚いてしまった。


＊　次の課題

ニュートンの質点定理には「球体の場合は」と書いてある。「結論：物体の質点は一般に存在しない - 重心と質点の話」で述べたとおり、球以外の物体で「引力の方向の中心という意味での質点」は存在しない。

けれども仮に「重心を質点だと錯覚」したときに、ニュートンによる公式と微小立方体分割方式では引力の計算値と方向に違いはでてくるだろうか？つまり大きさのある非対称的な物体で同じようなことを検証してみたい。「僕が物理と数学にハマリだしたきっかけ - 重心と質点の話」という記事で重心の位置の求め方を紹介したが、引力の方向と重心の方向が一般に一致するとはまだ誰も言っていないと思うのだ。

どのような形を選べばよいか？プログラムのロジックをできるだけシンプルにするため、いろいろな形を候補にして計算手順を模索しているところである。

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後日追記：

ニュートン自身はこの証明をなんと幾何学だけで行なっていたことを「悪魔の妄想」という有名な物理学ブログの作者から教えていただいた。その証明は「ニュートンはすごい！」という記事でお読みいただける。

この話は次の記事に続く。


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万有引力についてのこの一連の記事を最初から読みたい方は、「僕が物理や数学にハマりだしたきっかけ - 重心と質点の話」という記事からお読みください。