「理論物理学のための幾何学とトポロジー II：中原幹夫」（原書第2版）
内容
本書は1986年冬期にSussex大学数理物理科学教室で行った講義をもとに、その内容を大幅に進展させたものである。その際の聴衆は大学院生及び素粒子論、物性物理学あるいは一般相対論を専門とする当教室のメンバーであった。講義はインフォーマルな雰囲気の中で行われたが、本書においても出来うる限りこの点を守るように心がけた。定理の証明はそれが教育的であるものに限って与え、極端にテクニカルなものは省略した;省略した場合は定理の内容が確証できるようにいくつかの例を与えることにした。また、図を出来るだけ多く挿入することで、内容に関する具体的なイメージが把握できるように読者の便宜をはかった。第9章から第12章ではトポロジーと幾何学を統一的に扱い、第13章と第14章は現在盛んに研究されている物理学の分野におけるトポロジーと幾何学の最も魅力ある応用となっている。
著者について
中原幹夫
1981年京都大学大学院理学研究科博士課程修了。1983年イギリスロンドン大学数学Diploma課程修了。1981-82年南カリフォルニア大学物理学科研究員。1983-85年カナダアルバータ大学物理学科研究員。1985-86年イギリスサセックス大学数学物理教室研究員。1986-93年静岡大学教養部助教授。1993-99年近畿大学理工学部数学物理学科助教授。現在、近畿大学理工学部数学物理学科教授、理学博士
佐久間一浩
1993年東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻修了。1994-96年国立高知工業高等専門学校一般科講師。1997年同助教授。1998年近畿大学理工学部数学物理学科講師。現在、近畿大学理工学部数学物理学科講師、理学博士
理数系書籍のレビュー記事は本書で245冊目。
読者の方に言うのも恥ずかしいが、この第２分冊はまったく歯が立たなかった。全体の理解度は３割程度。
これまでにも理解できない本はいくつもあった。そして理解度が３割を下回った時点で読むのをあきらめていた。字面だけ追うのは電話帳を読むのとほとんど変わらない。
けれどもこの本に限っては状況が少し違っていた。苦労することは最初からわかっていたので次のようなことだけ吸収できればよいと思っていたからだ。
- 現代数学における代数学、幾何学、解析学の間の関係をつかむこと。
- 現代数学が物理学のどのような局面でかわっているかをつかむこと。
- 学ぶべき現代数学の分野とそこに成り立っている定理のあらましを知ること。
- どのような順番で学んでいけばよいかを知ること。
- それぞれの分野がどれくらい難しいのかをつかんでおくこと。
このような意味においては目標をほぼ達成することができた。理解がおぼつかないながらも読破した意味はあったと思う。（と無理に自分を納得させている。）
現代トポロジー理論と超弦理論に強いつながりがあることは「大栗先生の超弦理論入門」を読んだりNHKの「神の数式」を見た人ならば理解することができるだろう。またNHKの「素数の魔力に囚われた人々 ～リーマン予想・天才たちの１５０年の闘い～」では現代物理学とアラン・コンヌ博士の「非可換幾何学」につながりがあるかもしれないということが述べられていた。
超弦理論の余剰次元空間の候補のひとつ「カラビ-ヤウ空間」は、それそのものが６次元の物理的な空間だから、もろにそれはトポロジー理論が必要とされるというのはわかりやすい。しかし、それ以外の物理の分野が幾何学と結びついていると言われても素人にはちょっと想像がつかないと思う。
「リーマン幾何学」は数学としての道具立ては素人には難解過ぎるが、その直観的なイメージはわかりやすい。天体の質量によって周囲の時空が歪められるというのは幾何学そのものだ。一般相対性理論と幾何学との結びつきは素人にもすんなり受け入れることができる。
量子力学になると事態は変わる。その基礎方程式に含まれている波動関数は複素数の値をとる関数であり、「オイラーの公式」を学んだことのある高校生がついてこれるのはここまでだ。その波動関数が存在するのは「ヒルベルト空間」だと説明した時点でお手上げになる。ヒルベルト空間は無限次元の複素数の基底ベクトル（座標軸）によって張られる空間であり、この空間のことを理解するためには、関数が張るベクトル空間（関数空間）をきちんと学んでおく必要があるからだ。だから量子力学はヒルベルト空間論という幾何学と関係があると説明しても素人にはピンと来ないのは仕方がない。
それ以降の物理学、たとえば場の量子論、素粒子の標準理論にしても然り。幾何学どころか本来の物理法則自体を素人が理解するのは無理なので「相互につながりがある。」と説明しても理解してもらえるはずがない。差し当たり物理法則の対称性を意識しつつ、リー群（連続群）やその表現論を学んでいくのが物理学を専攻する学生がとる第一ステップなのだろう。
約６年に渡る勉強で、僕がたどり着けたのもこのあたりだ。多様体や微分幾何の勉強も十分ではない。ゲージ場が接続の微分幾何と結びついていることを理解できるまで、なんと多くのことを学ばなければならないことか。本書を読み終えての感想はまずそういうことだった。
以下が第２分冊の章立てだ。
「理論物理学のための幾何学とトポロジー II：中原幹夫」
第９章：ファイバー束
第１０章：ファイバー束上の接続
第１１章：特性類
第１２章：指数定理
第１３章：ゲージ場理論におけるアノマリー
第１４章：ボソン的弦理論
以下に各章の概要を述べておくが、理解がほとんど追いついていないので本書からの引用がほとんどであることをおことわりしておく。
第９章でファイバー束、束写像、引き戻し束、ホモトピー公理、ベクトル束、余接束、双対束、ベクトル束の切断、ファイバー計量、積束、Whiteney和束、テンソル積束、主束、同伴束などの定義を学ぶ。図版が多いので少しは助かるが新しい概念ばかりなので、この章は結構つらい。ファイバー束は２つの位相空間の直積に似た位相空間である。物理学、における多くの理論、たとえば一般相対論やゲージ理論などは、ファイバー束の理論により自然に記述される。
第１０章でファイバー束上の接続が定義される。第７章で学んだRiemann多様体における接続により異なる接空間のベクトルを比べることが可能になることを学んだわけであるが、これを抽象化するわけである。まず主束上の接続を定義し、その「接続１-形式」という局所表示が物理的にはゲージ・ポテンシャルに対応していることが示される。Yang-Mills場の強さは、接続によって与えられる曲率として定義される主束上の接続は自然に、それに同伴するベクトル束の共変微分を定める第７章で得られた諸結果がここでのアプローチを接束に適用することにより再現される。そしてこの章の最後で接続の理論の物理学へのいくつかの応用（ゲージ場理論とBerry位相）が紹介される。具体的にはU(1)ゲージ理論（古典電磁気学）、Diracの磁気モノポール、Aharonov-Bohm効果、SU(2)ゲージ理論（Yang-Mills理論）、インスタントン、Berry位相などである。個人的にはリーマン幾何学で学んだ接続が、ここまで応用範囲が広いものなのかと驚かされた。第９章で学んだ技巧的とも思える数々の定義の意義がこの章に至って理解できたのだ。
第１１章は特性類について学ぶ。ファイバーM、構造群G、底空間Mが与えられると、変換関数の選び方によってM上にはさまざまなファイバー束が構成される。そこで自然におこる問いは、与えられたFとGに対して、M上のファイバーはどのくらいたくさん存在し、それらが自明束M×Fとどの程度異なるかであろう。特性類は底空間のコホモロジー類の部分集合であり、ファイバー束の捩れ具合あるいは非自明さを測るものである。この意味で特性類はファイバー束が自明束になるための障害と考えることもできる。特性類のほとんどはde Rhamコホモロジー類によって与えられる。特性類は、ファイバー束の分類における重要性に加えて、指数定理においても中心的役割を果たす。この章では不変多項式とChern-Weil準同型について学んだ後、Chern類、Chern指標、Todd類、Pontrjagin類、Euler類などの特性類とその性質、HirzebruchのL種数とA種数、Chern-Simons形式、Stiefel-Whitney類などについて学ぶ。
第１２章では指数定理について学ぶ。物理学ではしばしば多様体M上の微分作用素を考察する。ラプラシアン作用素、d'Alembert作用素、Dirac作用素などである。これらの作用素は数学的観点からは切断の空間の間の写像とみなされる。これらは微分作用素なので、スペクトルと縮退に関する解析的情報をもたらす。驚くことにこの解析的な量は、多様体M上の適当な特性類の積分により表される位相不変量であり、純粋にMの位相的な情報を与えるのだ。この解析とトポロジーの間の相互作用が指数定理の主な部分である。この章で学ぶ項目は楕円型作用素、Fredholm作用素、楕円型複体、Atiyah-Singerの指数定理、de Rham複体、Dolbeault複体、符号数複体、Hirzebruch符号数定理、スピン複体、捻じれスピン複体、熱核と指数定理、Atiyah-Patodi-Singerの指数定理などである。
Atiyah-Singerの指数定理は、現在の認識では幾何学と理論物理学の接点に位置する基本定理である。そこでAtiyah-Singer指数定理が第１０章で論じた接続の理論と関連して、効果的に利用される例について触れておこう。
理論物理学と幾何学の研究における「接続の理論」の変遷や歴史は互いに異なるかもしれないが、その重要性は双方に共通している。接続の有効な研究の方法のひとつに、個々の接続を問題とするのではなく、接続全体の空間（モジュライ空間とよばれる）の構造を解析するものがある。そしてモジュライ空間の構造を利用して多様体の「微分同相不変量」が」定義されることがある。ゲージ理論にもとづくこうした観点からの多様体の研究は、今のところ４次元で著しい成功を収めている。1980年代に始まるDonaldson理論と1990年代半ばに発見されたSeiberg-Witten理論である。
ファイバー束が与えられるとRiemann計量を定めて、接続と曲率が定義されるがその際に考察される顕著な性質は、ファイバー束の大域的な捻じれ具合が個々の接続の取り方にはよらず、接続と曲率の集合から決まるあるコホモロジー類（特性類）を定めることである。このプロセスはChern-Weil理論と呼ばれている。このように接続は、個々を問題とするのではなくそれらを寄せ集めてくると、ファイバー束や多様体の大域的構造を浮かび上がらせるという興味深い特徴をもっている。たとえば、とりわけ良い性質をもつ接続の族を考えると、それが多様体の位相構造や微分構造の繊細な情報と結びつくのである。
第１３章ではゲージ場理論におけるアノマリーについて学ぶ。アノマリーとは量子化の過程で生じる異常項のことだ。（NHKの番組では「無限大の問題」として説明されていた。）素粒子物理学におけるモデルを構成する上で、対称性は最も重要な要素のひとつである。対称性は理論の繰り込み可能性やユニタリー性を保証する上で重要な役割を果たす。モデルのラグランジアンは観測されている対称性を満たすように選ばなければならない。しかし、ラグランジアンがもつ対称性は古典的であることに注意してほしい。ラグランジアンの対称性は量子的な対称性、すなわち有効作用の対称性を保証するものではない。ラグランジアンの古典的な対称性が量子化の過程で損なわれる場合、理論はアノマリーをもつという。場の理論にはカイラル・アノマリー、ゲージ・アノマリー、重力アノマリー、超対称性アノマリーなど、さまざまなタイプのアノマリーがある。各形容詞は対象となる対称性を表している。この章ではゲージ理論に現れるアノマリーの微分幾何学的および位相幾何学的な構造が解説されている。項目としては可換アノマリー、非可換アノマリー、Wess-Zuminoの無矛盾条件、BRS作用素、Faddeev-Popovゴースト、モジュライ空間、奇数次元空間におけるパリティ・アノマリーなどである。
第１４章ではボソン的弦理論について学ぶ。ここで扱われるのは２６次元のEuclid空間における閉じた向き付け可能なボソン的弦理論の１ループ振幅の経路積分による解析だ。弦の作用としては、種数gのRiemann面で定義されたPolyakov作用を採用する。まずRiemann面の微分幾何学が紹介され、次に真空振幅の経路積分表示が示される。そして次に１ループの真空振幅が計算される。学ぶ項目としてはRiemann面上の微分幾何（計量と複素構造、ベクトル、微分形式、テンソル、共変微分、Riemann-Rochの定理）、Polyakov弦の真空振幅、モジュライ空間、タイヒミュラー空間、積分の測度、臨界次元、複素テンソル解析と弦測度、Beltrami微分などである。
第２分冊では参考図書として次のような教科書が紹介されていた。
第２分冊全体
-「ゲージ理論とトポロジー ：深谷賢治」
-「接続の微分幾何とゲージ理論：小林昭七」
-「復刊 微分幾何学とゲージ理論：茂木 勇, 伊藤 光弘」
第９章：ファイバー束
-「復刊 微分位相幾何学：足立正久」
-「微分・位相幾何：和達三樹」
第１０章：ファイバー束上の接続
-「微分形式の幾何学 1：森田茂之」
-「微分形式の幾何学 2：森田茂之」
-「ゲージ場を見る：外村彰」
-「目で見る美しい量子力学：外村彰」（レビュー記事）
[外村]はAharonov-Bohm効果の実験についての第一人者による紹介である。
第１１章：特性類
-「特性類講義：J.W.ミルナー, J.D.スタシェフ」
-「特性類と幾何学：森田茂之」
[J.W.ミルナー, J.D.スタシェフ]は翻訳であるが、日本語訳には原著にない解答が示されている。
第１２章：指数定理
-「指数定理：古田幹雄」
-「ディラック作用素の指数定理：吉田朋好」
第１３章：ゲージ場理論におけるアノマリー
-「経路積分と対称性の量子的破れ：藤川和男」
[藤川]はFujikawaの方法の発見者自身による解説である。
第１４章：ボソン的弦理論
-「弦の量子論：吉川圭二」
-「曲面上の関数論―リーマン‐ロッホの定理へのいざない：樋口、山崎、 田代、渡辺」
日本語版：
残念ながら日本語版は絶版状態で中古本しか手に入らない。復刊リクエストに協力いただける方はこのページからお願いします。
「理論物理学のための幾何学とトポロジー I：中原幹夫」
「理論物理学のための幾何学とトポロジー II：中原幹夫」
英語版：
「Geometry, Topology and Physics, Second Edition: Mikio Nakahara」
関連記事：
理論物理学のための幾何学とトポロジー I：中原幹夫
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ef0b2fcb7c87aabfcd68bbe2a567840e
発売情報：理論物理学のための幾何学とトポロジー I、II [原著第2版]：中原幹夫
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/e41542db38096a275011e2df0a6a4c90
「理論物理学のための幾何学とトポロジー II：中原幹夫」
第９章：ファイバー束
- 接ベクトル束
- ファイバー束
- ベクトル束
- 主束
第１０章：ファイバー束上の接続
- 主束上の接続
- ホロノミー
- 曲率
- 同伴ベクトル束上の共変微分
- ゲージ理論
- Berryの位相
第１１章：特性類
- 不変多項式とChern-Weil準同型
- Chern類
- Chern指標
- Pontrjagin類とEuler類
- Chern-Simons形式
- Stiefel-Whitney類
第１２章：指数定理
- 楕円型作用素とFredholm作用素
- Atiyah-Singerの指数定理
- de Rham複体
- Dolbeault複体
- 符号数複体
- スピン複体
- 熱核と一般化されたζ関数
- Atiyah-Patodi-Singer指数定理
第１３章：ゲージ場理論におけるアノマリー
- 序説
- 可換アノマリー
- 非可換アノマリー
- Wess-Zuminoの矛盾条件
- 可換アノマリーと非可換アノマリー
- 奇数次元空間におけるパリティ・アノマリー
第１４章：ボソン的弦理論
- Riemann面上の微分幾何
- ボゾン的弦の量子力学
- 1-ループ振幅
参考文献
日本語の参考文献II
訳者あとがき
索引
内容
本書は1986年冬期にSussex大学数理物理科学教室で行った講義をもとに、その内容を大幅に進展させたものである。その際の聴衆は大学院生及び素粒子論、物性物理学あるいは一般相対論を専門とする当教室のメンバーであった。講義はインフォーマルな雰囲気の中で行われたが、本書においても出来うる限りこの点を守るように心がけた。定理の証明はそれが教育的であるものに限って与え、極端にテクニカルなものは省略した;省略した場合は定理の内容が確証できるようにいくつかの例を与えることにした。また、図を出来るだけ多く挿入することで、内容に関する具体的なイメージが把握できるように読者の便宜をはかった。第9章から第12章ではトポロジーと幾何学を統一的に扱い、第13章と第14章は現在盛んに研究されている物理学の分野におけるトポロジーと幾何学の最も魅力ある応用となっている。
著者について
中原幹夫
1981年京都大学大学院理学研究科博士課程修了。1983年イギリスロンドン大学数学Diploma課程修了。1981-82年南カリフォルニア大学物理学科研究員。1983-85年カナダアルバータ大学物理学科研究員。1985-86年イギリスサセックス大学数学物理教室研究員。1986-93年静岡大学教養部助教授。1993-99年近畿大学理工学部数学物理学科助教授。現在、近畿大学理工学部数学物理学科教授、理学博士
佐久間一浩
1993年東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻修了。1994-96年国立高知工業高等専門学校一般科講師。1997年同助教授。1998年近畿大学理工学部数学物理学科講師。現在、近畿大学理工学部数学物理学科講師、理学博士
理数系書籍のレビュー記事は本書で245冊目。
読者の方に言うのも恥ずかしいが、この第２分冊はまったく歯が立たなかった。全体の理解度は３割程度。
これまでにも理解できない本はいくつもあった。そして理解度が３割を下回った時点で読むのをあきらめていた。字面だけ追うのは電話帳を読むのとほとんど変わらない。
けれどもこの本に限っては状況が少し違っていた。苦労することは最初からわかっていたので次のようなことだけ吸収できればよいと思っていたからだ。
- 現代数学における代数学、幾何学、解析学の間の関係をつかむこと。
- 現代数学が物理学のどのような局面でかわっているかをつかむこと。
- 学ぶべき現代数学の分野とそこに成り立っている定理のあらましを知ること。
- どのような順番で学んでいけばよいかを知ること。
- それぞれの分野がどれくらい難しいのかをつかんでおくこと。
このような意味においては目標をほぼ達成することができた。理解がおぼつかないながらも読破した意味はあったと思う。（と無理に自分を納得させている。）
現代トポロジー理論と超弦理論に強いつながりがあることは「大栗先生の超弦理論入門」を読んだりNHKの「神の数式」を見た人ならば理解することができるだろう。またNHKの「素数の魔力に囚われた人々 ～リーマン予想・天才たちの１５０年の闘い～」では現代物理学とアラン・コンヌ博士の「非可換幾何学」につながりがあるかもしれないということが述べられていた。
超弦理論の余剰次元空間の候補のひとつ「カラビ-ヤウ空間」は、それそのものが６次元の物理的な空間だから、もろにそれはトポロジー理論が必要とされるというのはわかりやすい。しかし、それ以外の物理の分野が幾何学と結びついていると言われても素人にはちょっと想像がつかないと思う。
「リーマン幾何学」は数学としての道具立ては素人には難解過ぎるが、その直観的なイメージはわかりやすい。天体の質量によって周囲の時空が歪められるというのは幾何学そのものだ。一般相対性理論と幾何学との結びつきは素人にもすんなり受け入れることができる。
量子力学になると事態は変わる。その基礎方程式に含まれている波動関数は複素数の値をとる関数であり、「オイラーの公式」を学んだことのある高校生がついてこれるのはここまでだ。その波動関数が存在するのは「ヒルベルト空間」だと説明した時点でお手上げになる。ヒルベルト空間は無限次元の複素数の基底ベクトル（座標軸）によって張られる空間であり、この空間のことを理解するためには、関数が張るベクトル空間（関数空間）をきちんと学んでおく必要があるからだ。だから量子力学はヒルベルト空間論という幾何学と関係があると説明しても素人にはピンと来ないのは仕方がない。
それ以降の物理学、たとえば場の量子論、素粒子の標準理論にしても然り。幾何学どころか本来の物理法則自体を素人が理解するのは無理なので「相互につながりがある。」と説明しても理解してもらえるはずがない。差し当たり物理法則の対称性を意識しつつ、リー群（連続群）やその表現論を学んでいくのが物理学を専攻する学生がとる第一ステップなのだろう。
約６年に渡る勉強で、僕がたどり着けたのもこのあたりだ。多様体や微分幾何の勉強も十分ではない。ゲージ場が接続の微分幾何と結びついていることを理解できるまで、なんと多くのことを学ばなければならないことか。本書を読み終えての感想はまずそういうことだった。
以下が第２分冊の章立てだ。
「理論物理学のための幾何学とトポロジー II：中原幹夫」
第９章：ファイバー束
第１０章：ファイバー束上の接続
第１１章：特性類
第１２章：指数定理
第１３章：ゲージ場理論におけるアノマリー
第１４章：ボソン的弦理論
以下に各章の概要を述べておくが、理解がほとんど追いついていないので本書からの引用がほとんどであることをおことわりしておく。
第９章でファイバー束、束写像、引き戻し束、ホモトピー公理、ベクトル束、余接束、双対束、ベクトル束の切断、ファイバー計量、積束、Whiteney和束、テンソル積束、主束、同伴束などの定義を学ぶ。図版が多いので少しは助かるが新しい概念ばかりなので、この章は結構つらい。ファイバー束は２つの位相空間の直積に似た位相空間である。物理学、における多くの理論、たとえば一般相対論やゲージ理論などは、ファイバー束の理論により自然に記述される。
第１０章でファイバー束上の接続が定義される。第７章で学んだRiemann多様体における接続により異なる接空間のベクトルを比べることが可能になることを学んだわけであるが、これを抽象化するわけである。まず主束上の接続を定義し、その「接続１-形式」という局所表示が物理的にはゲージ・ポテンシャルに対応していることが示される。Yang-Mills場の強さは、接続によって与えられる曲率として定義される主束上の接続は自然に、それに同伴するベクトル束の共変微分を定める第７章で得られた諸結果がここでのアプローチを接束に適用することにより再現される。そしてこの章の最後で接続の理論の物理学へのいくつかの応用（ゲージ場理論とBerry位相）が紹介される。具体的にはU(1)ゲージ理論（古典電磁気学）、Diracの磁気モノポール、Aharonov-Bohm効果、SU(2)ゲージ理論（Yang-Mills理論）、インスタントン、Berry位相などである。個人的にはリーマン幾何学で学んだ接続が、ここまで応用範囲が広いものなのかと驚かされた。第９章で学んだ技巧的とも思える数々の定義の意義がこの章に至って理解できたのだ。
第１１章は特性類について学ぶ。ファイバーM、構造群G、底空間Mが与えられると、変換関数の選び方によってM上にはさまざまなファイバー束が構成される。そこで自然におこる問いは、与えられたFとGに対して、M上のファイバーはどのくらいたくさん存在し、それらが自明束M×Fとどの程度異なるかであろう。特性類は底空間のコホモロジー類の部分集合であり、ファイバー束の捩れ具合あるいは非自明さを測るものである。この意味で特性類はファイバー束が自明束になるための障害と考えることもできる。特性類のほとんどはde Rhamコホモロジー類によって与えられる。特性類は、ファイバー束の分類における重要性に加えて、指数定理においても中心的役割を果たす。この章では不変多項式とChern-Weil準同型について学んだ後、Chern類、Chern指標、Todd類、Pontrjagin類、Euler類などの特性類とその性質、HirzebruchのL種数とA種数、Chern-Simons形式、Stiefel-Whitney類などについて学ぶ。
第１２章では指数定理について学ぶ。物理学ではしばしば多様体M上の微分作用素を考察する。ラプラシアン作用素、d'Alembert作用素、Dirac作用素などである。これらの作用素は数学的観点からは切断の空間の間の写像とみなされる。これらは微分作用素なので、スペクトルと縮退に関する解析的情報をもたらす。驚くことにこの解析的な量は、多様体M上の適当な特性類の積分により表される位相不変量であり、純粋にMの位相的な情報を与えるのだ。この解析とトポロジーの間の相互作用が指数定理の主な部分である。この章で学ぶ項目は楕円型作用素、Fredholm作用素、楕円型複体、Atiyah-Singerの指数定理、de Rham複体、Dolbeault複体、符号数複体、Hirzebruch符号数定理、スピン複体、捻じれスピン複体、熱核と指数定理、Atiyah-Patodi-Singerの指数定理などである。
Atiyah-Singerの指数定理は、現在の認識では幾何学と理論物理学の接点に位置する基本定理である。そこでAtiyah-Singer指数定理が第１０章で論じた接続の理論と関連して、効果的に利用される例について触れておこう。
理論物理学と幾何学の研究における「接続の理論」の変遷や歴史は互いに異なるかもしれないが、その重要性は双方に共通している。接続の有効な研究の方法のひとつに、個々の接続を問題とするのではなく、接続全体の空間（モジュライ空間とよばれる）の構造を解析するものがある。そしてモジュライ空間の構造を利用して多様体の「微分同相不変量」が」定義されることがある。ゲージ理論にもとづくこうした観点からの多様体の研究は、今のところ４次元で著しい成功を収めている。1980年代に始まるDonaldson理論と1990年代半ばに発見されたSeiberg-Witten理論である。
ファイバー束が与えられるとRiemann計量を定めて、接続と曲率が定義されるがその際に考察される顕著な性質は、ファイバー束の大域的な捻じれ具合が個々の接続の取り方にはよらず、接続と曲率の集合から決まるあるコホモロジー類（特性類）を定めることである。このプロセスはChern-Weil理論と呼ばれている。このように接続は、個々を問題とするのではなくそれらを寄せ集めてくると、ファイバー束や多様体の大域的構造を浮かび上がらせるという興味深い特徴をもっている。たとえば、とりわけ良い性質をもつ接続の族を考えると、それが多様体の位相構造や微分構造の繊細な情報と結びつくのである。
第１３章ではゲージ場理論におけるアノマリーについて学ぶ。アノマリーとは量子化の過程で生じる異常項のことだ。（NHKの番組では「無限大の問題」として説明されていた。）素粒子物理学におけるモデルを構成する上で、対称性は最も重要な要素のひとつである。対称性は理論の繰り込み可能性やユニタリー性を保証する上で重要な役割を果たす。モデルのラグランジアンは観測されている対称性を満たすように選ばなければならない。しかし、ラグランジアンがもつ対称性は古典的であることに注意してほしい。ラグランジアンの対称性は量子的な対称性、すなわち有効作用の対称性を保証するものではない。ラグランジアンの古典的な対称性が量子化の過程で損なわれる場合、理論はアノマリーをもつという。場の理論にはカイラル・アノマリー、ゲージ・アノマリー、重力アノマリー、超対称性アノマリーなど、さまざまなタイプのアノマリーがある。各形容詞は対象となる対称性を表している。この章ではゲージ理論に現れるアノマリーの微分幾何学的および位相幾何学的な構造が解説されている。項目としては可換アノマリー、非可換アノマリー、Wess-Zuminoの無矛盾条件、BRS作用素、Faddeev-Popovゴースト、モジュライ空間、奇数次元空間におけるパリティ・アノマリーなどである。
第１４章ではボソン的弦理論について学ぶ。ここで扱われるのは２６次元のEuclid空間における閉じた向き付け可能なボソン的弦理論の１ループ振幅の経路積分による解析だ。弦の作用としては、種数gのRiemann面で定義されたPolyakov作用を採用する。まずRiemann面の微分幾何学が紹介され、次に真空振幅の経路積分表示が示される。そして次に１ループの真空振幅が計算される。学ぶ項目としてはRiemann面上の微分幾何（計量と複素構造、ベクトル、微分形式、テンソル、共変微分、Riemann-Rochの定理）、Polyakov弦の真空振幅、モジュライ空間、タイヒミュラー空間、積分の測度、臨界次元、複素テンソル解析と弦測度、Beltrami微分などである。
第２分冊では参考図書として次のような教科書が紹介されていた。
第２分冊全体
-「ゲージ理論とトポロジー ：深谷賢治」
-「接続の微分幾何とゲージ理論：小林昭七」
-「復刊 微分幾何学とゲージ理論：茂木 勇, 伊藤 光弘」
第９章：ファイバー束
-「復刊 微分位相幾何学：足立正久」
-「微分・位相幾何：和達三樹」
第１０章：ファイバー束上の接続
-「微分形式の幾何学 1：森田茂之」
-「微分形式の幾何学 2：森田茂之」
-「ゲージ場を見る：外村彰」
-「目で見る美しい量子力学：外村彰」（レビュー記事）
[外村]はAharonov-Bohm効果の実験についての第一人者による紹介である。
第１１章：特性類
-「特性類講義：J.W.ミルナー, J.D.スタシェフ」
-「特性類と幾何学：森田茂之」
[J.W.ミルナー, J.D.スタシェフ]は翻訳であるが、日本語訳には原著にない解答が示されている。
第１２章：指数定理
-「指数定理：古田幹雄」
-「ディラック作用素の指数定理：吉田朋好」
第１３章：ゲージ場理論におけるアノマリー
-「経路積分と対称性の量子的破れ：藤川和男」
[藤川]はFujikawaの方法の発見者自身による解説である。
第１４章：ボソン的弦理論
-「弦の量子論：吉川圭二」
-「曲面上の関数論―リーマン‐ロッホの定理へのいざない：樋口、山崎、 田代、渡辺」
日本語版：
残念ながら日本語版は絶版状態で中古本しか手に入らない。復刊リクエストに協力いただける方はこのページからお願いします。
「理論物理学のための幾何学とトポロジー I：中原幹夫」
「理論物理学のための幾何学とトポロジー II：中原幹夫」
英語版：
「Geometry, Topology and Physics, Second Edition: Mikio Nakahara」
関連記事：
理論物理学のための幾何学とトポロジー I：中原幹夫
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ef0b2fcb7c87aabfcd68bbe2a567840e
発売情報：理論物理学のための幾何学とトポロジー I、II [原著第2版]：中原幹夫
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/e41542db38096a275011e2df0a6a4c90
「理論物理学のための幾何学とトポロジー II：中原幹夫」
第９章：ファイバー束
- 接ベクトル束
- ファイバー束
- ベクトル束
- 主束
第１０章：ファイバー束上の接続
- 主束上の接続
- ホロノミー
- 曲率
- 同伴ベクトル束上の共変微分
- ゲージ理論
- Berryの位相
第１１章：特性類
- 不変多項式とChern-Weil準同型
- Chern類
- Chern指標
- Pontrjagin類とEuler類
- Chern-Simons形式
- Stiefel-Whitney類
第１２章：指数定理
- 楕円型作用素とFredholm作用素
- Atiyah-Singerの指数定理
- de Rham複体
- Dolbeault複体
- 符号数複体
- スピン複体
- 熱核と一般化されたζ関数
- Atiyah-Patodi-Singer指数定理
第１３章：ゲージ場理論におけるアノマリー
- 序説
- 可換アノマリー
- 非可換アノマリー
- Wess-Zuminoの矛盾条件
- 可換アノマリーと非可換アノマリー
- 奇数次元空間におけるパリティ・アノマリー
第１４章：ボソン的弦理論
- Riemann面上の微分幾何
- ボゾン的弦の量子力学
- 1-ループ振幅
参考文献
日本語の参考文献II
訳者あとがき
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この本は卒研で非常に役に立ちました・・・が、やはり数学概論として追う範疇を超えており、どこかでけじめをつけないといけない本なのかなぁ思いました（笑。参考(つまみぐい)にしたのは、オイラー類やディラック種数に関する部分です。はじめから読もうとしたときは、ファイバー束(初学)で沈没しました(笑。
とはいえ、Ⅰから数学書をめくるわけにはいかないので、ないにこしたことはありませんね。
言い本だと思います。
僕もファイバー束でいきなり難儀しましたので、「これじゃまともなレビュー記事書けない。どうしたものか。」と考えあぐねながら読み進めました。
今回はなんともみっともない記事になってしまいました。
消化不良の本が続くとめげますので、次はちゃんと理解できる本を選んで、士気を高めたいと思います。
どんな場にも使える数学ですから、すべての場を全部一度に勉強するんじゃ大変です。
一般のファイバー束に対する必要最小限が主束ですから、これだけ分かればいいやと思ってますが、実のところ自信はないです。
ファイバー束や主束の章は時間をかけて読みましたが、それでも消化不良の感は否めません。このあたりは地道に学んでいくしかないですね。
やはり自分で証明して、さらに自分で構成しなきゃ。
構成てのは、例や定義の作成です。
作った例や定義が目的とした性質かも自分で証明しなきゃいけませんが。
ファイバー束に関しては、ある一部の人が完成させたというよりかは、歴史的には長い時間を掛けて構成された概念のようです。だから理解しにくいのではないと感じています。私はこの本の他に
T. Eguchi, P. B. Gilkey, and A. J. Hanson. Gravitation, gauge theories and differential geometry. Phys. Rep.,
66(6):213–393, 1980.
も参考にしました（総合報告なので書籍と同じように読めます)。259ページ頃からファイバー束についての直観的説明が書かれています。ファイバー束を構成する定義が多く面食らいましたが、この説明でいくつか腑に落とせたと思います。
参考になれば幸いです。
「自力本願」
その言葉は僕の心に重く響いています。
今回のより低いレベルの教科書ですと、問題や例題をときどき自分で紙に解いたりしているのですが、この本はそれすらできないレベルでした。
hirotaさんがおっしゃっている意味での「構成すること」は僕にはハードルが高すぎそうです。でも、それをできなければ大学院生レベル、研究者レベルの勉強ができないですね。
このＰＤＦファイルのことですね。
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.295.9925&rep=rep1&type=pdf
259ページあたりから見てみましたが、わかりやすそうな感じがしますので読んでみます。
ありがとうございました。
単に勉強しただけでは本当に理解してるか分からないから「確認する」だけです。
なにしろ仕事に使う為に勉強してもテストで確認してくれる人などいませんから、自分で確認しなきゃいけません。
仕事の責任は自分にあるし、上司や同僚は別の専門で一杯で聞いても無理ですからね。(たまに助けになるけど)
そのため教科書の説明を別の見方をしたらどうなるかと色々試すわけです。
別の見方＝教科書と違う再構成、というわけです。
まあ、学生の勉強とは違うシビアな状況ですが、責任のプレッシャーと比べれば楽なもんです。
「勉強」した後の「確認すること」のことをおっしゃっていたわけですね。
hirotaさんの場合はお仕事の必要性から「勉強＋確認」をされているので、深く確実に理解することがとても大切なのだと思います。
僕の場合、仕事は物理学や数学とは関係ない分野ですので、理数系の勉強は趣味でしているというのが大きな違いです。学生の方々よりも学ぶ必要性（および時間）はありません。
ただし、勉強＋確認は必要性いかんにかかわらず大切なことですね。
> 責任のプレッシャーと比べれば楽なもんです。
たしかにそうですね。仕事の場合、納期やお客様、売上など、いろいろな矛盾や制約からくるプレッシャーがありますね。