「４次元以上の空間が見える： 小笠英志」（Kindle版）
内容紹介：
４次元空間から宇宙人や怪獣や未来人が現れるようなシーンを空想して胸を躍らせたことはありませんか？この本ではイラスト、イメージ図、座標を駆使して、だれもが一度は思いをめぐらせた４次元空間、さらに５次元空間、６次元空間･･･を直感的にとらえられるようにしています。数学や物理によって理論的にきちんと考えきちんと考えられている”n次元”のトピックをより身近に感じることのできる本です。
2006年5月刊行、255ページ。
著者について：
小笠 英志（おがさ えいじ）：
ホームページ： http://ndimension.g1.xrea.com/
Twitter: @E43051281
数学者、作家、大学教員。東京大学大学院数理科学研究科博士課程修了。博士(数理科学)。元Brandeis大学visiting scholar(客員研究員)。研究テーマは、高次元結び目、1次元結び目およびその周辺。著作は『異次元への扉』(日本評論社)、『4次元以上の空間が見える』『相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう』(いずれもべレ出版)など。高次元の図形を見る、作る、動かすことがライフワーク。
小笠先生の著書： 単行本検索 Kindle版検索
小笠先生の論文： arXiv.orgで新着順に検索
理数系書籍のレビュー記事は本書で434冊目。
先日「高次元空間を見る方法： 小笠英志」を読んで紹介記事を書かせていただいたが、今回紹介するのは同じ著者が13年前にお書きになった本だ。この2冊に被るところはほとんどない。それではどう違うの？と気になったから、こちらも読ませていただいた。
前者をブルーバックス本、今回の本をベレ出版の本として説明することにしよう。どちらも「4次元以上の空間が見える」ということをウリにしているが、読者のレベルによって若干の違いがあることがわかった。
どちらも数式が使われているが、どちらかというとブルーバックス本のほうが控え目で、図版に工夫をより凝らしている。ベレ出版のほうは数式やトポロジーの数学表記を遠慮なく使って解説を行っている。とはいえ円や球、球面の方程式を書き下せる高校生以上であれば読み解くことができるはずだ。むしろ数式を使って高次元に移行していくほうがイメージしやすい。
だから「高次元が見える」かどうかは、数式がわからない人であればブルーバックス本のほうに軍、数式が理解できる人にとってはベレ出版のほうに軍配があがることだろう。
章立てはこおとおりだ。
$1 タイムマシンとSF推理小説
$2 n次元ユークリッド空間R^n
$3 n次元ユークリッド空間(c=2,3,4,5)の中のS^1、S^2
$4 n次元球面S^n(nはすべての自然数)
$5 さらにn次元の図形の例S^1×S^(n-1)(nは2以上の自然数)
$6 ここまでに残した証明の概略
$7 この本を読んだ後の進み方のいくつか
章を進めるにつれて、同じようなテーマで1次元から順に高次元へ移行する。前半はn次元ユークリッド空間と球面がテーマ、後半はトーラスやメビウスの輪などの図形を高次元化することに焦点があてられる。そして最後のほうで「多様体」への入門の入門という形で読者を大学数学の入り口へといざなってくれる。
ブルーバックス本もベレ出版の本も「高次元トポロジー」という点で共通しているが、前者はどちらかというとこの分野の中の「結び目理論」への入門書、後者はそれだけでなく「多様体理論」への入門書という傾向をもっていると思う。
僕は大学で数学を専攻していたし、「トポロジー入門： 松本幸夫」や「多様体の基礎: 松本幸夫著」や「幾何学〈1〉多様体入門：坪井俊」を読んでいたから、今回のベレ出版の本のほうが性に合っていた。そして買い置きしながら未読の「曲面結び目理論：鎌田聖一」をはやく読みたいという気持ちになった。
結び目理論は未修であるが、数学用語として「結び目（Knot）」と「絡み目（Link）」の違いがよくわかっていなかった。本書を読み、その違いがわかったのがよかった。「絡み目」とは「いくつかの結び目の集まり」のことである。
「結び目理論」理学部：河内明夫教授
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~kawauchi/InternetLecture/01.html
大学の数学で，「結び目理論」に入門するための教科書PDF。
応用の多いトポロジー・位相幾何学の一分野
https://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20141120/KnotTheoryPDFLectureNotes
本書の$5までは解説を重視している。証明は$6「ここまでに残した証明の概略」にまとめられている。僕のような読者は、この章が読み応えがあり、いちばん熱中することができるのだ。その反面、数式がわからない読者はこの章は読み飛ばしてよいと思う、
$7「この本を読んだ後の進み方のいくつか」では、本書を読んだ後に読むべき本がいくつも紹介している。教養書レベルの本、大学１、２年生向け、大学３、４年向けの洋書に分けて紹介されているのだが、本書が対象としている読者にとっては難しすぎると思った。
さらに、結び目理論やトポロジーが超弦理論で使われていることが紹介されている。そして「詳しいことは次のような本を読んでください。」とポルチンスキー博士やウィッテン博士による有名な教科書（洋書）が紹介されている。いきなり難しい参考図書や論文がでてくるのが、ブルーバックス本と共通していた。高次元トポロジーが超弦理論で極めて重要なことは言うまでもなく、先日聴講した講演会で強く印象に残っている。（参考記事：「2019年度仁科記念講演会（高柳匡先生、大栗博司先生）」）
もちろん本書では「集合・位相」、「位相空間論」、「多様体入門」などについて、代表的な教科書も紹介している。僕としては本書の次には結び目理論の入門的な教科書にチャレンジしたいと思った。
結び目理論に関する本： 単行本を検索
気軽に読めるし、Kindle版としても刊行されている。ぜひお読みいただきたい。
以下は小笠先生のその他の著書である。
「高次元空間を見る方法： 小笠英志」（Kindle版）（紹介記事）
「異次元への扉―はさみと紙から始めてトポロジーの達人に： 小笠英志」
「相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう： 小笠英志」（Kindle版）
先日紹介したのは2006年に刊行された
「高次元空間を見る方法： 小笠英志」（Kindle版）（紹介記事）である。今回紹介したベレ出版の本と内容がほとんどかぶりそうなタイトルであるが、購入して内容を見たところ重複しているところはほとんどないことがわかった。ベレ出版の本よりも易しく、中学卒業程度から読める。
そして「異次元への扉―はさみと紙から始めてトポロジーの達人に： 小笠英志」であるが、この本には「ボーイサーフェス」と「クラインの壺」が解説される。これらについて小笠先生は次のような動画をお作りになっている。
Make your Boy surface
ボーイサーフェスのそのほかの動画： YouTubeで検索する
Klein bottle can be made quickly
Klein bottle=2×Möbius band
小笠先生がアップロードした動画： YouTubeチャンネル
また先生は、ボーイサーフェスについて次の論文をお書きになっている。
Make your Boy surface
https://arxiv.org/abs/1303.6448
関連記事：
高次元空間を見る方法： 小笠英志
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/75af1852f22646e937628c42ea93a15d
多次元空間へのお誘い（１）：はじめに
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/3c2bacd624695dcad7dd2fa9feadd5bd
高次元空間の隙間の大きさ
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/4d65a6811aa35998e6246bb57025a974
エキゾチックな球面： 野口廣
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b3f1abb0ae2b139d53580261b22b9c87
メルマガを書いています。（目次一覧）
応援クリックをお願いします。
「４次元以上の空間が見える： 小笠英志」（Kindle版）
Preface
$1 タイムマシンとSF推理小説
- 事件と謎
- 解決
- 次章へのIntroduction
Digression: SF小説による"次元が4以上の空間"入門
$2 n次元ユークリッド空間R^n
- n次元ユークリッド空間R^n
- $1.2の図1、図2を数学的に文字を使って書く
- $1.2の解決を数学的に座標を使って書く
- 次元が4以上の空間は数学的に考えられる
- このようにグラフを考えると自然に4次元が必要になる
- このように方程式を考えると自然に4次元が必要になる
- 次章へのIntroduction
Digression: 正十二面体（３次元ユークリッド空間R^3内の図形の復習）
$3 n次元ユークリッド空間(c=2,3,4,5)の中のS^1、S^2
- 2次元ユークリッド空間R^2の中に円周S^1 2個
- 3次元ユークリッド空間R^3の中に円周S^1 2個
- 3次元ユークリッド空間R^3の中に円周S^1 1個と球面S^2 1個
- 4次元ユークリッド空間R^4の中に円周S^1 1個と球面S^2 1個
- 4次元ユークリッド空間R^4の中に円周S^1 2個と
5次元ユークリッド空間R^5の中に円周S^1 1個と球面S^2 2個
- 5次元ユークリッド空間R^5の中に球面S^2 2個
- 次章へのIntroduction
Digression: 我々の宇宙とn次元
$4 n次元球面S^n(nはすべての自然数)
- n次元球面S^n
- $3.7の問題(1)、(2)の略解
Digression: 錘の体積を積分を使わないで小学生に納得させる方法と高次元への一般化
$5 さらにn次元の図形の例S^1×S^(n-1)(nは2以上の自然数)
- S^2とS^1×S^1
- S^3とS^2×S^2
- S^nとS^1×S^(n-1）
Digression: 多様体
Digression: 結び目、絡み目
$6 ここまでに残した証明の概略
- 円周S^1から円周S^1への連続写像の性質
- 自明絡み目とHopf絡み目の違い
- $3.4のL_0とL_1の違い
- $5.1の答
- $5.2、$5.3の答
- 本書で見てきた以外の多様体の例
$7 この本を読んだ後の進み方のいくつか
索引
内容紹介：
４次元空間から宇宙人や怪獣や未来人が現れるようなシーンを空想して胸を躍らせたことはありませんか？この本ではイラスト、イメージ図、座標を駆使して、だれもが一度は思いをめぐらせた４次元空間、さらに５次元空間、６次元空間･･･を直感的にとらえられるようにしています。数学や物理によって理論的にきちんと考えきちんと考えられている”n次元”のトピックをより身近に感じることのできる本です。
2006年5月刊行、255ページ。
著者について：
小笠 英志（おがさ えいじ）：
ホームページ： http://ndimension.g1.xrea.com/
Twitter: @E43051281
数学者、作家、大学教員。東京大学大学院数理科学研究科博士課程修了。博士(数理科学)。元Brandeis大学visiting scholar(客員研究員)。研究テーマは、高次元結び目、1次元結び目およびその周辺。著作は『異次元への扉』(日本評論社)、『4次元以上の空間が見える』『相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう』(いずれもべレ出版)など。高次元の図形を見る、作る、動かすことがライフワーク。
小笠先生の著書： 単行本検索 Kindle版検索
小笠先生の論文： arXiv.orgで新着順に検索
理数系書籍のレビュー記事は本書で434冊目。
先日「高次元空間を見る方法： 小笠英志」を読んで紹介記事を書かせていただいたが、今回紹介するのは同じ著者が13年前にお書きになった本だ。この2冊に被るところはほとんどない。それではどう違うの？と気になったから、こちらも読ませていただいた。
前者をブルーバックス本、今回の本をベレ出版の本として説明することにしよう。どちらも「4次元以上の空間が見える」ということをウリにしているが、読者のレベルによって若干の違いがあることがわかった。
どちらも数式が使われているが、どちらかというとブルーバックス本のほうが控え目で、図版に工夫をより凝らしている。ベレ出版のほうは数式やトポロジーの数学表記を遠慮なく使って解説を行っている。とはいえ円や球、球面の方程式を書き下せる高校生以上であれば読み解くことができるはずだ。むしろ数式を使って高次元に移行していくほうがイメージしやすい。
だから「高次元が見える」かどうかは、数式がわからない人であればブルーバックス本のほうに軍、数式が理解できる人にとってはベレ出版のほうに軍配があがることだろう。
章立てはこおとおりだ。
$1 タイムマシンとSF推理小説
$2 n次元ユークリッド空間R^n
$3 n次元ユークリッド空間(c=2,3,4,5)の中のS^1、S^2
$4 n次元球面S^n(nはすべての自然数)
$5 さらにn次元の図形の例S^1×S^(n-1)(nは2以上の自然数)
$6 ここまでに残した証明の概略
$7 この本を読んだ後の進み方のいくつか
章を進めるにつれて、同じようなテーマで1次元から順に高次元へ移行する。前半はn次元ユークリッド空間と球面がテーマ、後半はトーラスやメビウスの輪などの図形を高次元化することに焦点があてられる。そして最後のほうで「多様体」への入門の入門という形で読者を大学数学の入り口へといざなってくれる。
ブルーバックス本もベレ出版の本も「高次元トポロジー」という点で共通しているが、前者はどちらかというとこの分野の中の「結び目理論」への入門書、後者はそれだけでなく「多様体理論」への入門書という傾向をもっていると思う。
僕は大学で数学を専攻していたし、「トポロジー入門： 松本幸夫」や「多様体の基礎: 松本幸夫著」や「幾何学〈1〉多様体入門：坪井俊」を読んでいたから、今回のベレ出版の本のほうが性に合っていた。そして買い置きしながら未読の「曲面結び目理論：鎌田聖一」をはやく読みたいという気持ちになった。
結び目理論は未修であるが、数学用語として「結び目（Knot）」と「絡み目（Link）」の違いがよくわかっていなかった。本書を読み、その違いがわかったのがよかった。「絡み目」とは「いくつかの結び目の集まり」のことである。
「結び目理論」理学部：河内明夫教授
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~kawauchi/InternetLecture/01.html
大学の数学で，「結び目理論」に入門するための教科書PDF。
応用の多いトポロジー・位相幾何学の一分野
https://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20141120/KnotTheoryPDFLectureNotes
本書の$5までは解説を重視している。証明は$6「ここまでに残した証明の概略」にまとめられている。僕のような読者は、この章が読み応えがあり、いちばん熱中することができるのだ。その反面、数式がわからない読者はこの章は読み飛ばしてよいと思う、
$7「この本を読んだ後の進み方のいくつか」では、本書を読んだ後に読むべき本がいくつも紹介している。教養書レベルの本、大学１、２年生向け、大学３、４年向けの洋書に分けて紹介されているのだが、本書が対象としている読者にとっては難しすぎると思った。
さらに、結び目理論やトポロジーが超弦理論で使われていることが紹介されている。そして「詳しいことは次のような本を読んでください。」とポルチンスキー博士やウィッテン博士による有名な教科書（洋書）が紹介されている。いきなり難しい参考図書や論文がでてくるのが、ブルーバックス本と共通していた。高次元トポロジーが超弦理論で極めて重要なことは言うまでもなく、先日聴講した講演会で強く印象に残っている。（参考記事：「2019年度仁科記念講演会（高柳匡先生、大栗博司先生）」）
もちろん本書では「集合・位相」、「位相空間論」、「多様体入門」などについて、代表的な教科書も紹介している。僕としては本書の次には結び目理論の入門的な教科書にチャレンジしたいと思った。
結び目理論に関する本： 単行本を検索
気軽に読めるし、Kindle版としても刊行されている。ぜひお読みいただきたい。
以下は小笠先生のその他の著書である。
「高次元空間を見る方法： 小笠英志」（Kindle版）（紹介記事）
「異次元への扉―はさみと紙から始めてトポロジーの達人に： 小笠英志」
「相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう： 小笠英志」（Kindle版）
先日紹介したのは2006年に刊行された
「高次元空間を見る方法： 小笠英志」（Kindle版）（紹介記事）である。今回紹介したベレ出版の本と内容がほとんどかぶりそうなタイトルであるが、購入して内容を見たところ重複しているところはほとんどないことがわかった。ベレ出版の本よりも易しく、中学卒業程度から読める。
そして「異次元への扉―はさみと紙から始めてトポロジーの達人に： 小笠英志」であるが、この本には「ボーイサーフェス」と「クラインの壺」が解説される。これらについて小笠先生は次のような動画をお作りになっている。
Make your Boy surface
ボーイサーフェスのそのほかの動画： YouTubeで検索する
Klein bottle can be made quickly
Klein bottle=2×Möbius band
小笠先生がアップロードした動画： YouTubeチャンネル
また先生は、ボーイサーフェスについて次の論文をお書きになっている。
Make your Boy surface
https://arxiv.org/abs/1303.6448
関連記事：
高次元空間を見る方法： 小笠英志
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/75af1852f22646e937628c42ea93a15d
多次元空間へのお誘い（１）：はじめに
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/3c2bacd624695dcad7dd2fa9feadd5bd
高次元空間の隙間の大きさ
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/4d65a6811aa35998e6246bb57025a974
エキゾチックな球面： 野口廣
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b3f1abb0ae2b139d53580261b22b9c87
メルマガを書いています。（目次一覧）
応援クリックをお願いします。
「４次元以上の空間が見える： 小笠英志」（Kindle版）
Preface
$1 タイムマシンとSF推理小説
- 事件と謎
- 解決
- 次章へのIntroduction
Digression: SF小説による"次元が4以上の空間"入門
$2 n次元ユークリッド空間R^n
- n次元ユークリッド空間R^n
- $1.2の図1、図2を数学的に文字を使って書く
- $1.2の解決を数学的に座標を使って書く
- 次元が4以上の空間は数学的に考えられる
- このようにグラフを考えると自然に4次元が必要になる
- このように方程式を考えると自然に4次元が必要になる
- 次章へのIntroduction
Digression: 正十二面体（３次元ユークリッド空間R^3内の図形の復習）
$3 n次元ユークリッド空間(c=2,3,4,5)の中のS^1、S^2
- 2次元ユークリッド空間R^2の中に円周S^1 2個
- 3次元ユークリッド空間R^3の中に円周S^1 2個
- 3次元ユークリッド空間R^3の中に円周S^1 1個と球面S^2 1個
- 4次元ユークリッド空間R^4の中に円周S^1 1個と球面S^2 1個
- 4次元ユークリッド空間R^4の中に円周S^1 2個と
5次元ユークリッド空間R^5の中に円周S^1 1個と球面S^2 2個
- 5次元ユークリッド空間R^5の中に球面S^2 2個
- 次章へのIntroduction
Digression: 我々の宇宙とn次元
$4 n次元球面S^n(nはすべての自然数)
- n次元球面S^n
- $3.7の問題(1)、(2)の略解
Digression: 錘の体積を積分を使わないで小学生に納得させる方法と高次元への一般化
$5 さらにn次元の図形の例S^1×S^(n-1)(nは2以上の自然数)
- S^2とS^1×S^1
- S^3とS^2×S^2
- S^nとS^1×S^(n-1）
Digression: 多様体
Digression: 結び目、絡み目
$6 ここまでに残した証明の概略
- 円周S^1から円周S^1への連続写像の性質
- 自明絡み目とHopf絡み目の違い
- $3.4のL_0とL_1の違い
- $5.1の答
- $5.2、$5.3の答
- 本書で見てきた以外の多様体の例
$7 この本を読んだ後の進み方のいくつか
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しかもこれが射影平面の3次元はめ込みとはビックリ！
高校時代に読んだ2次元閉多様体の分類ではN1(射影平面)は分かるような図がなくて3次元はめ込みは無理だと思ってました。N2(クライン壺)は良く見る図があるのにね。
N1, N2 はメビウス帯を 1つ, 2つ貼り合わせて出来るけど、メビウス帯 1つの辺を閉じるなんて潰れるだけで無理としか思えないのが出来ちゃったんですねー。
M1 が平面と同じ曲率0にできる事は簡単に分かるので、M2 が負曲率になる事を説明しましょう。
M2 は8の字の線が管になってるので、まず上下の管を切ってHの字にします。(線は管)
次に左右の縦管を切り開くと、H字は変わらないけど左右の縦線は板で中央の横線のみ管です。
最後に横管を見てる方向から切り開いて上下に広げれば12辺形となります。
上辺から 1〜12の番号を付ければ、1と7, 3と11, 5と9 が同じ長さで 2と6は4の半分, 8と12は10の半分です。
完全に切り開いたので等曲率にできますが、また貼り合わせる時のために辺と辺は直角でなければなりません。そうすると必然的に負曲率となります。
高次元空間で貼り合わせれば曲率を変えずに貼れますから定曲率(負曲率) M2 が出来上がります。
3次元多様体でも同様ですが、いまだに負曲率宇宙を無限に広がる開いた宇宙だと思ってる人が多くて困りますね。
Boy surfaceはこれまでに紹介した２冊の範疇外ですが、著者の動画を通じて知ることができました。3次元にはめこむことができる意外な形です。
そういえばカルチャー・クラブのBoy Georgeという歌手も「ボーイ」でしたね。（https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_George）
負曲率閉面のM2を思い浮かべるのはなかなか難しいです。この分野は超空間的な想像力が必要ですね。こういう研究をしている人は、実際にモノを使ってくっつけたり離したりしてイメージを補強しているのだと思いました。何度も繰り返しているうちに、頭の中でそれができるようになる気がします。
> 負曲率宇宙を無限に広がる開いた宇宙だと思ってる人
そういう人は多いと思います。かつての僕もそうでした。