オカルトって好き?
一般的には科学、ってのは「隠されたモノを暴き出す」事だと思われている。
そもそも「オカルト」とは、語源的には「隠されたモノ」だ。従って「隠されたモノを暴き出して法則性を見出す」科学とは、まさしく対極的なモノだ、と一般的に思われてはいる。
しかしながら、数式数式、って出てくる「科学と思われてるモノ」がオカルトを日の光の下へと全部晒しだしている、ってのは実は誤解だ。
世の中には「科学のフリをして」実は内情的には「オカルト」を含んでるモノもある。
代表的なトコでは統計学、がある。
統計学では確率分布とか確率密度関数、と呼ばれるモノが頻出するが、実はこれ自体が「オカルト」を内包してるんだ。
信じられない?でも「事実」だ。これら確率分布/確率密度関数、っつーのは、「形式的には」数学的関数の見た目を持ってるが、実は根底にはオカルトを含んでる。
一番有名な確率密度関数に、例えば性器正規分布がある。一時期、ベルのカタチに似てる、ってぇんでベル・カーブと言う通称が流行った事がある(※1)。
ベルの例
ベル・カーブならぬベルマーク
正規分布は概形から言うと、なるほど、確かにベルに似てる。
な?
ベル・カーブは割に色んなトコで見かけるグラフだ。
ただし、これを描画する数式の見た目が厳しいんで、統計初学者泣かせでもある。
こんな数式だ。
ビビんな、ビビんな。ここでこれ出したのは「如何にも関数のように見える」から示しただけだ。実際はこいつは関数じゃない、って言いたかっただけだ。
関数じゃないって?うん。こいつは確率密度関数の代表格なんだけど、確率密度関数は数学で言う関数じゃないんだ。上の方に書いただろ?描画する数式だって。
そう、こいつは描画する為だけに存在する数式で、実は関数としては機能していない。と言うのも、性質的には、xが決まったからf(x)が決まる、と言うような事を表してるんじゃねぇんだ。
実際は、横軸のxは「何らかの結果」を表している。「何らか」って何だろ?それはツキ、とか運、とか「神の見えざる手」とか、あるいは「山村貞子」かもしんない。要するに「何だか分からないもの」が結果xを作っている。
だから言っただろ?「オカルト」だって(笑)。何だか分からんものが作り出した「結果」がxで、何度もそれを試して積み上げた結果が縦軸のdensityになっている。
これは、さっきも書いたけど、数学で言う関数みたいにxを与えたから結果f(x)が決まる、と言うような関係じゃない。むしろ、運、と言う「人知を超えたトコの」結果がxなんだ。
x = 運(オカルト)の結果
考えてみたらそうだろ?例えばサイコロを何度も振ったら次のような結果になるかもしんない。
でも別に横軸のValueが縦軸のprobabilityを決定してるわけじゃない。要するに直接は関係ないんだ・・・ただし、多数の試行をした際に「こうなるだろうな」と言うのを図として定式化したのが確率分布、あるいは確率密度関数と呼ばれるモノだ。
つまり、何度も繰り返すけど、確率分布/確率密度関数は別に数学的な関数・・・例えば y = xとかみたいに、xが決まったら即時yが決まる、と言うような関係性を表すモノではない。
そしてあくまでxは「運の」結果だ。
確率分布、ないしは確率密度関数で言う横軸、ここではxとしたが、それを確率変数、と呼ぶ。ただし、この変数は関数の変数を意味しない。単に「運の」結果を確率変数、って呼んでるだけだ。
もう一度言うが、確率分布ないしは確率密度関数は、基本的には図式化する為のモノであって、別に「確率を生み出す構造」を記述してるわけじゃない。「確率を生み出す構造」は人知を超えたトコにある。言わばオカルト、だ。オカルトの結果な以上、例えば貴方がここでサイコロを振って1が出たとしても「どうして?」と言う問に答えは返ってこない。何故なら「どうして」は「オカルトだから」と言うのが答えになる。その時点で1が出るのは全く理由が分からない。
つまり、厳密に言うと、統計学は科学ではない。オカルトの結果を積み上げた結果、図式化して「無限試行すればこんな画になるだろう」と言ってるだけで、物理学とか化学とかが「現象と現象との因果関係」を言うのとは全く次元の違う事を言ってる。根底的には「分からん」ってトコからスタートして、そのまま来てるわけだ。あるのは仮定に次ぐ仮定しかねぇわけだな。
意外だったか(笑)?
しかし、統計で扱う「確率」なんつーのは数学でも何でもないし、「オカルトを観察した結果」でしかないんだ(※2)。
さて、確率分布、ないしは確率密度関数、と言われるモノの「正体」をこうやってまずは把握してもらって、だ(※3)。
コンピュータで何とかこの「オカルト」を再現したい、と。つまり「確率を生成する何か」を実装しようとする。
以前、PythonによるXorshiftの実装例を紹介したが。この「何とかしてオカルトのようなモノを再現したい」と言った熱意の結果を疑似乱数と呼ぶ。
"疑似"ってことはホンモノじゃない、って事だ。乱数は定義上、「オカルトの中身」が分からん以上、結果がどうなるか分からん。しかし、疑似乱数は、「パッと見分からん数列」になっているが、数列である以上、実は規則性があるわけだ。
一般に、疑似乱数生成器、と言う数列は周期性がある。初めに出した数値に「戻ってくる」んだよな。
例えばC言語実装に良く用いられる線形合同法なんかは、場合によってはWikipediaで解説されてる通り、3つ数値を出したら戻ってくるケースがある。
反面、「最高峰の疑似乱数生成器」と言われる日本で開発されたメルセンヌ・ツイスタ(Pythonで使われてる乱数生成器実装)だとパターンを繰り返すまでに431542479738816264805523551633791983905393504322671150516525054140333068013765809113045136293185846655452699382576488353179022173345844139095282691546091680190078753437413962968019201144864809026614143184432769803000667281049840954515881760771329698437621346217903963913412852056276196005131066463766486159942366754865374802419643502959351686623639090479483476923139783013778207857124190544743328445291831729732423108882650813216264694510777078122828294447750226804880578200287646593991647662652009005614958003440543536903898628940617928720111208336148084474829135473283672778795656483078469091169458662301697024012602401870287466500334457745703154312929960251877807901193759028631710841496424733789862675033089613749057663409052895722900160380005716308751913739795550474681543332534749910462481325045163417965514705754814592008594726148362138755571168644457897508862779964873043084504842234206292665185560243393391908443689210184248446770427276646018529149252772809226975384267702573339289544012054658956103476588553866339025462899621326432824257480357862335806081546965469325638333276707698994397748885266872785274510029630591469638757154257355344759797344631006783673933274021499309687782967413915145996023742136298987206114314104021472389980909628189158906456939344833309941696322958779958489933667470148717634948055499961630515412254034652970077211462313557040814930986630657336771911728539870957481678162560842128233801686253345864312540346708061352735432707144788768618619833207772806448066911257131972625817631513135964295477635763678370193498351784621442949607571909180546251141436663841894338525764522893476524546315357404687862289458856546085620580424689873724369214450923153776984071681983765382377486141962070415481063793651231928179990066217664671671134716327154817958770053826943934004030617004576911353491878748889234293493401451705717161811257958888892774954269771499145496239163940148229850253316515114312788020090568084565068188772666098316368838849056218222629339865486456690806721917047404088913498356856624280632311985204368263294152907529727983434294465099922063687813671540917026557727273913294242775293490826005858847665231509574170778319100161684756856586731928608820701797603072698499873548360423717346602576943472355063017441188741412924389581415491006097522168822308876114319964723308423801371109274494835578150375868496445857499177728699267442183696211376751010832785437940817490940910430840967741447084363242794768920562004272279616386691498054898311212446763999319553714840128863607487064795686690485747828552170547401139459296221775025755658110674522014489819919686359653615516812739827407601388996388203187763036687627301575846400427988806918626402686126861808838749395738181250222796899302674462557739595424698316378630001712792271514060341299021815706596505326007758236773981821290873944498591827499990072235924233345678506711865688391867477049600162775406253314406190191299837899147125153652003360579935086016788076875685623778570952555413049029271922201841725023571244499118702106426945650613849193734743245039662677990384023867816868099620158790905865494235046991907435195510437225445157409678290843360259382257807308802738552615519720440756203267806244488034909982321612316877947156134057932495455095280525180101230872587789741158170482455889714385967544080813134383755029887267395233752966416155014060916079832292398272406147832528924797165199369895191878086812211916417477109024806334910917048274412282811866324459071457871383512348422613800746219140048181523866660431333448750679035828382835626880832365754820684796395463838195321745225026823724413632757658756091197836532983120667082171493167735643403792897243939867441398918554166122957393566686126582712346964383771228389980401997390780614436754156710784634046737024037776534781733670848447347020568666361581380036922533822099094664695919301616260979205087421756703065051395428607508061598353575410321470950842784610567013677397949320242029987077310176925820462107022125141204293225304317896162670477761151235979354041470848709854654265027720573009003338479053342506041195030300017040028878929414046033458699263675013550949427505525915816399805231906796107849935808966832992976812624423140086570334218680945517405064488290392073167113076951318922965935090186230948105575195603052407871638092191644337545148633010009159169858562421765636247713289816785482462973762495302513603634127683664561750770319774575349128064331765399959943433081184701471587128161493944212766142282629099500557469810532066100015602957846566161932522694120268311595089496715138451958832171479827488792618514178199790344172855986077272208666776804260903087548238033454465663056192413083744527546681430154877108777280110860043258922622594139682852834970455710627577014217615652627251534074076254051499319894944591064146605343053785767098625200498648809611448692586034737143636591940139627063668513892996928694918051725568185082988249549548157960631695176587414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つまり、周期が長いんで、どこを切り取っても「充分乱数に見える」って事だ。
そう、疑似乱数は、生成する数列の「周期が長ければ長い程」良いんだ(※4)。
もう一つ、コンピュータ上でのやり様では、疑似乱数を生成する数列に与える初期値をガンガン変える、と言う手を打つ。良くあるパターンでは、初期値に時刻を使うわけだな。初期値が2022年11月30日と2022年12月1日の2つだと、なるほど、生成される乱数列は違うモノとなるだろう。そうすれば、たとえ「規則/数学的に数列が生成されようと」僕らはフツーは気づかない、っちゅーこっちゃ。
さて、この疑似乱数を生成する「確率生成装置」だけど、一応疑似乱数≒乱数として考えてみた時、得られる確率分布を一様分布と呼び、生成された乱数を一様乱数、と呼ぶ。
うん、それは樋口一葉だ(謎
例えばサイコロをプログラミングしよう、とすればRacketならこうなるだろう。
(define (die) (random 1 6))
Pythonだと次のようになり、
from random import randint
def die(): return randint(1, 6)
JavaScriptだとこんなカンジだろう(※5)。
function die() { return Math.floor(Math.random() * 6) + 1; }
これらは皆、1〜6の確率変数を生成し、出てくる結果を描画すると一様分布になる。要するに関数dieは1〜6の確率変数を生成する一様乱数の一種だな。
これが一番プログラミングに於いてお世話になるシステムだろう。
そして割に何でもかんでも一様乱数に頼っている。
しかしそれでホンマエエのか?
例えば以前、ドラクエでの攻撃の式の話をしたが。
基本攻撃ダメージ＝(攻撃力-敵の守備力÷2)*乱数値(54~197)/256
うん、これは確かに一様乱数を使った典型的なプログラムで、しかもこれで攻撃が失敗したり、あるいは「かいしんのいちげき」が出るわけだよな。
でもちと待ってくれ、とか思わない?攻撃で与えるダメージに「平均値」があるんだったら、プログラムとして考えた際に、例えば「正規分布に従う」(※6)ダメージでもエエんちゃうか、とか。何もサイコロっぽい計算式じゃなくても良いんじゃないか、とか。
まぁ、ある種ドラクエはオリジンであるTRPGっぽい計算になってる、って言えばなってはいる。しかし、せっかくのCRPGだ。何も計算式がサイコロを利用したようなモノじゃなくって、もっと別のイカした乱数を扱っても良かないか、と。
実はゲームプログラミングに於いては長い間、この「サイコロスタイル」、言い換えれば一様乱数の利用しかなかったんだわ(※7)。一つはプログラミングする側の「確率」に対する知識が少なかった事。もう一つはなんだかんだ言ってプログラミング言語側に「一様乱数」以外の乱数が提供されてなかった、からだよな(※8)。
後者は結構理由としては大きい。やっぱり「ビルトインライブラリ」が無い状態で色々やろうとするのは面倒臭い。
ここでは疑似乱数である一様乱数から、他の確率分布/確率密度関数に従う確率変数の作り方を紹介しよう。
ここで、例えば指数分布、と言う確率密度関数を考える。
描画の為の数式、つまり確率密度関数は以下の通りだ。
別にビビらんでもエエだろ。プログラムするなら
;;; Racket(define (f x λ) (* λ * (exp (- (* λ x)))))### Pythonimport mathdef f(x, λ): return λ * math.exp(- λ * x)// JavaScriptfunction f(x, λ) {return λ * Math.exp(- λ * x);}
みたいなモンだ。
ただし、何度も言うが、確率分布/確率密度関数は「描画の為の数式」であって、指数分布に従う確率変数、つまり、指数乱数を生成する為のモノじゃない。
ここでトリックを使う。確率分布/確率密度関数に付随した累積分布関数、と言われるものがある。それを利用する。
累積分布関数、とは数学的に言うと、確率分布を順次加算、あるいは確率密度関数を積分したものだ。
積分、と聞いてもビビらないでいい。大体有名な確率分布/確率密度関数に於いての累積分布関数はWikipediaに載っている(笑)。自分で計算せんでも、「累積分布」をキーワードにして調べてみればいいだけ、だ(笑)。
しかも、確率は全部足せば1だ、ってのは小学生でも知っている。確率密度関数も定義域で全域に渡って積分すれば1になる。と言うよりも総和が1になる量を確率、としている、と言うのがホントのトコだ。そして総和が1になるようなブツは誰でも勝手に作れるんだよ。
確率分布/確率密度関数は統計学でいくつも出てきて、またこれを暗記せなアカンのか、と悩む統計初学者が多いんだけど、実のトコ言うと、それらは現実で良く見かけるブツとして代表例で出てきてるだけ、であって、定義を良く良く見てみると、自分で勝手に作っても別に怒られる類のモンじゃないんだよな。っつーか、総和が1になるようなブツなんざどうとでも作れるだろ(笑)?だから気楽に構えてていいんだ。
さて、指数分布の累積分布関数はこうだ。
数学に自信がある人は指数分布の確率密度関数をxで不定積分すればいい。自信が無い人はWikipediaから答えを引っこ抜いてくればいい(笑)。
ちと見づらいし、左辺を敢えてxと置いて、今までxだったものをyとして次のように書き換える。
そしてyに付いて整理する。
この右辺をプログラムするんだが、ここで、xを「0〜1」を生じる一様乱数とする。
つまり、次のようなプログラムにする。
;;; Racket(define (expovariate λ) (- (/ (log (- 1 (random))) λ)))### Pythonimport math, random
def expovariate(λ): return - math.log(1 - random.uniform(0, 1)) / λ// JavaScriptfunction expovariate(λ) {return - Math.log(1 - Math.random()) / λ;}
これが「指数乱数」を発生する関数となる。結果はそんなに難しくねぇだろ?
一体何がどうなって、どういう仕組みで指数乱数が形成出来たのか。
もう一回指数分布の累積分布関数を見てみよう。
さっき、確率分布の総和や確率密度関数の定義域における積分は1になる、って話をした。そうすると、縦軸は0からxまでの和を意味していて、数学的に言うと値域は0〜1の範囲に制限されてる事が分かるだろうか。
0〜1、だ。つまり0〜1の数を発生させる「一様乱数」が取り得る値と対応してるのが分かるだろう。
言い換えると、横軸のxを縦軸に取る数値の「関数」として考えてみよう、ってのが仕組みだ。縦軸の中の値が一様乱数の結果として出てきたのなら対応するxを調べれば、それが欲しい確率分布/確率密度に従う確率変数になるだろう、ってのがそのトリックなんだよ。
累積分布関数と一様乱数を使えば、ほぼ全ての「任意の」確率分布/確率密度関数に従う乱数を生成する事が可能だ。
まぁ、モダンな言語処理系には色んな乱数が備わってるが、仮にそういうのが無かった場合でも、性器正規乱数以外は簡単に作れるんだよ(※9)、って事を紹介したかっただけ、だ。
貴方の使ってるプログラミング言語に、豊富な乱数が備わって無く、自作しなきゃならない場合は是非とも活用して欲しい。思ったより簡単に様々な乱数を作れる事が分かる筈だ。
※1: 「ベル・カーブ」と言う呼称が日本で流行ったのは、1994年にアメリカで出版された「The Bell Curve」と言うベストセラーな書籍が原因。
流行った割には邦訳が何故か無かった。マスコミ関係者がテレビで発言した際に一躍広まった愛称だ。
※2: ちなみに「確率論」と言うのは数学の一分野ではある。
ややこしいんだけど、数学上では確率論は「測度論」と言う分野の一分野だ。
いや、ホンマややこしく思うかもしれないが、これは平たく言うと「測量に関する計算法」を扱う分野で、確率も「計算対象」として扱われてる、と言う事だ。
「それが何か?」って思うかもしんないが、これは数学上の概念を読み解く鍵になってる。
つまり、数学は根底的には「計算」を扱う学問なんだけど、「意味」は扱わないんだよ。
大雑把に言うと、数学では全く「意味」を扱わない。つまり、我々が思うだろう「確率」と数学者が扱う「確率」は必ずしも同じじゃないんだ。後者は「計算対象」としてだけ数学者の興味を引いてるだけであって、じゃあそれが現実的に一体何を指すのか、と言うのは数学者の意識の外にあるんだ。それが事実なんだわ。
ある対象がどんな意味を持つのか、と言うのは数学の範疇外なんだ。はい、これホント。
従って、「確率とは何か?」と言うのは数学の範疇外の話で、要するに我々の側には「解釈の余地」ってのがある、って事だ。言い換えると「意味」を付け足すのは我々の勝手、なのである。
この話がピンと来ない人もいるだろうが、例えば1 + 1 = 2っつーのは数学なんだけど、1円 + 1円 = 2円、と「解釈」するのは数学の外なんだわ。数学がやってるのは円だろうとcmだろうと成り立つ「抽象的な枠組み」を決める事なんだけど、実際に円なのかcmなのか、ってのを考えるのは「数学の外」にいる僕らが決めていい事なんだ。
少なくとも、「計算方法とその定義」と言う枠組みだけ決めてあとは知らん、ってのが現代の数学のやり方で、こういうのを公理主義と言う。ルールは決めるからあとは勝手にしてくれ、ってのが現代の数学のスタンスで、それもあって
「確率の計算上の定義と計算法は決めるけど、確率の"意味"に対しては問わない」
と言う状況になってるわけ。
なお、確率には現在主流の「客観的確率」と言う「解釈」に始まって、主観確率、論理的確率、等、色々な「解釈」の流派が存在している。
そしてそれらは「どれがホント」ってワケじゃあないんだ。その「解釈」には哲学要素が加わってくる、ってのがホントのトコだ。
なお、こういう話を聞くと「数学は役に立つか?」って問はバカバカしくなるだろ?
数学自体は役に立たない。役に立てるか立てないか、ってのはむしろ「数学の外」にいる僕らの役目なんだ。
※3: 一般に、サイコロを振った結果、つまり飛び飛びの値が形成する「図」を「確率分布」、正規分布のように連続量で形成された図を「確率密度関数」と呼ぶ。
※4: Racketで使われている疑似乱数生成器はMRG32k3a法に拠る。
※5: ちなみに、あまり知られてないが、サイコロはdieが単数形であり、一般でダイス(dice) = サイコロ、と思われてるが、それは複数形だ。日本語化したブツでは珍しく、複数形が日本語になっている。
※6: 結果がある確率分布ないしは確率密度関数に見えるようになる事を「✕✕分布に従う」と表現する。例えば、サイコロを振り続けた結果でグラフを作った際に、一様分布に見えるような結果になった場合、「サイコロを振った結果は一様分布に従う」と表現する。
※7: ゼビウスの開発者として知られる遠藤雅伸氏は安直なサイコロ型の確率の乱用に対して、常々警告を放っている。 => 参考: 確率の罠―ドロップ確率1％＝100回倒せば手に入る？
ローカル環境でのゲームだと問題がなかった事が、大規模なネットゲーム、特にガチャ絡みだと、圧倒的に「運が無い」人々が具現化し、アンチになってしまう。
明らかに理由は確率システム自体に内在してて、アンチは「単純な確率の捉え方」に対するツケとなって出て来てるわけだ。
このように、実は乱数を操っていても、プログラマは一般に、数学的思考に実は弱い。
※8: 最近では違う。Pythonは特に、Battery Includedと呼ばれるだけあって、一様乱数以外にも多くの乱数を備えている。
また、Racketも、math/distributionモジュールで豊富な乱数を扱う事が出来る。
※9: 正規分布に従う確率変数、いわゆる正規乱数を作成するのが難しいのは、単純に正規分布をフツーに積分して累積分布関数を計算するのがムズいから、だ。
こればっかは処理系が用意しても良い乱数だと思う。
ただ、近似で良ければロジスティック分布を用いる、ってのは手だろう。これはカタチが極めて正規分布に良く似てて、しかも積分なんかでの扱いもラクなんで、近似値としては良く使われる確率密度関数だ。
もちろん、計算に自信があれば自分で手計算で積分しても良いが、Wikipedia辺りから解をくすねて来るのを妨げる事もない。
