女子学院３

「 ある品物の仕入れ値に、３００円の利益を見込んで定価をつけた。Ａさんは定価の１０％引きで１５個売り、Ｂさんは定価の２０％引きで２０個売ったところ、ＡさんとＢさんの利益の比は９：４になった。
（１）定価の１０％引きで売ったときと、定価の２０％引きで売ったときの１個あたりの利益の比を、最も簡単な整数の比で示せ。
（２）この品物の仕入れ値を求めよ。」　2010

仕入れ値を X 円とする

（１）

（ X ＋３００）× ０．９ × １５ ー １５X   ： （ X ＋ ３００ ）× ０．８ ×２０ ー ２０X ＝ ９：４

１３．５ X ＋ ４０５０ ー １５X  ： １６X ＋ ４８００ ー ２０X ＝ ９：４

４０５０ ー１．５X ： ４８００ ー ４X ＝ ９：４

１６２００ ー ６X ＝ ４３２００ ー ３６X

３０X ＝ ２７０００

X ＝ ９００

仕入れ値９００円に３００円の利益を見込んだ定価は１２００円。

１０％引きでは、１０８０円。利益は、１８０円。

２０％引きでは、９６０円。利益は、６０円。

したがって、１８０ ： ６０ ＝ ３ ： １（答え）

（２）　仕入れ値 X 円＝ ９００円（答え）

私は小学生の時にでもこのやりかたで解いたわ。小学生のやりかたなどない。小学生時代のある日、塾の女の先生に、まず、正負の数の観念についてのプリントをドサッと渡された。そして、数か月で一次方程式の運用まで。興味があったのでスッと自分に入ったわ。２、３年分先取りしたことになったのかな。まぁ、どうってことないことだ。塾教室だから他にも同じことをやってる生徒がいたし。低学年の小学生で漢検一級のほうがよっぽどすごい。いるでしょう。天才的な児童が。友人の娘にも凄いのがいた（今はもう日本にはいない）。アインシュタインは、小学時代にカントの理性批判を読破、理解したらしい。彼を神格化しては奉るユダヤ人たちのハッタリではなく、それも十分あり得ることだ。まず、好奇心や興味からだろうな。それが本当なら必ず努力し、叶うものだ。神は彼、彼女を好んでは必ず報いるのだから。

女子学院２

「 １個１５０円のりんごと１個１８０円のなしを全部で９３個仕入れたら、りんごとなしの仕入れ値の比は、８：９でした。りんごはいくつ買って全部でいくら支払いましたか。 」　2013

イイネ　千代田区一番町さま　

１５０円と１８０円の比は、５：６。それぞれ仕入れた個数をかけ合わせた仕入れ値比が ８：９ になったということは、

りんごの個数 １．６ に対して、なしの個数は １．５

９３ ÷（１．６＋１．５）＝ ３０

買ったりんごの個数は、１．６ × ３０ ＝ ４８個（答え）

支払った金額は全部で、

１５０ × ４８ ＋ １８０ × ４５ ＝ ７２００ ＋ ８１００ ＝ １５３００円（答え）

洛南１０

「 ３けたの整数のうち各位の数字が２つ以上同じであるものは全部で何個ありますか。 」1991

３けたの整数とは、１００から９９９までのことで、個数は全部で９００個。

各位の数字が全部バラバラの場合、

百位は、　０を除いた、９個

十位は、　百位の数を除き、０を含めた、９個

一位は、　百位と十位の数を除き、０を含めた、８個

全部で、９ × ９ × ８ ＝ ６４８個

それら以外の数字の個数となるので、９００ ー ６４８ ＝ ２５２個（答え）

洛南９

「 濃度が７％の食塩水が容器に入っています。これに濃度が４％の食塩水を加えたところ、濃度が６％になりました。さらに水を加えたところ、濃度が３％の食塩水６０ｇができました。当初の食塩水のｇ数を求めなさい。」2012

国語の問題やろ。

濃度が３％の食塩水６０ｇでは、食塩の量は１．８ｇ。

これが、６％ということは、食塩水の量は、１．８ ÷ ０．０６＝３０ｇ。

つまり、濃度が７％の食塩水に、濃度が４％の食塩水を加えたところ、濃度が６％の食塩水３０ｇになったということやな。

もう面倒なので、方程式を運用する。濃度が７％の食塩水をXｇとすると、

０．０７ ×  X  ＋ ０．０４ ×（３０ ー  X ）＝ １．８

０．０３ ×  X  =  ０．６

当初の食塩水 X ｇは、２０ｇ（答え）

麻布５

「  ７チームが参加して、サッカーの大会を行いました。 試合は総当たり戦（どのチームも他の６チームと１試合ずつ行う方式）で行い、 各試合で勝てば２点、負ければ０点、引き分けの場合は１点が与えられました。この点数を勝ち点ということにします。

全試合が終わったときのＡチーム以外の各チームの勝ち点の合計は上の表のようになりました。このとき、つぎの各問いに答えなさい。

（１）試合数は全部で何試合でしたか。

（２）Ａチームの勝ち点の合計は何点ですか。

（３）Ａチームは何勝何敗何引き分けですか。理由も述べなさい。 」　1998

（１）７ × ６ ÷ ２ となり、 ２１試合（答え）

（２）全勝すると６勝１２点。次点で５勝１０点、そして４勝８点、３勝６点、２勝４点、１勝２点、０勝０点なので、勝ち点の合計は、１２＋１０＋８＋６＋４＋２＋０となり４２点。A 以外の勝ち点は、１１＋５＋５＋１＋１１＋２＝３５点なので、Aの勝ち点は７点（答え）

（３）

B（１１点）：５勝０敗１分け　　　確定
E（１点）　：０勝５敗１分け　　　確定
F（１１点）：５勝０敗１分け　　　確定

合計勝ち点２３　１０勝５敗３分け　確定

A（７点）　：１勝０敗５分けか、２勝１敗３分けか、３勝２敗１分け
C（５点）　：２勝３敗１分けか、１勝２敗３分けか、０勝１敗５分け
D（５点）　：２勝３敗１分けか、１勝２敗３分けか、０勝１敗５分け
G（２点）　：１勝５敗０分けか、０勝４敗２分け

として、いろいろと試行錯誤 → 難渋。

とはいえ、BFの引き分けは両者の引き分けに違いないので、AはBFに必ず負けている。つまり２敗以上しているので、３勝２敗１分け（答え）

洛南８

「 1⃣ 2⃣ 3⃣ 4⃣ の４枚のカードのうち、３枚のカードを並べて３けたの数をつくります。つくることのできる数のうち、６の倍数になるのは全部いくつですか。」　2007

大前提条件として、

まず、６の倍数は３の倍数である。いい換えれば、３の倍数でなければ６の倍数ではない。

そして、３枚のカードを並べて、６の倍数になる３けたの数を作る場合、３枚のカードを足すと必ず３の倍数になっている必要がある。

1⃣ 2⃣ 3⃣ 4⃣ のうち３枚のカードを並べた３けたの数が、６の倍数になるのは、末尾が 2⃣ か 4⃣ なので、▢ ▢ 2⃣ か ▢ ▢ 4⃣ となり、３ × ２ の２倍となって１２通り。

そして、３枚のカードを足して３の倍数にならないのは、

▢ ▢ 2⃣ の場合では、1⃣ と 4⃣、つまり ２ × １ で２通り

▢ ▢ 4⃣ の場合では、1⃣ と 2⃣、1⃣ と 3⃣ 、つまり ２ × １ の２倍となって４通り

つまり、１２通りのうち、６通りが条件から外れるので、条件に適うのは、６通り（答え）

答えだけならそう時間をかけず楽に見つかるだろうけれど、やりかたまで問われれば困るよね💦

現場では書き出してた。1⃣3⃣2⃣、3⃣1⃣2⃣、3⃣4⃣2⃣、4⃣3⃣2⃣、2⃣3⃣4⃣、3⃣2⃣4⃣ とね。１２以下の数であることが見え見えなので。

洛南７

「 Ｒ中学校でテストをしました。男子生徒の５％、女子生徒の４％が１００点をとり、１００点をとった生徒の人数の合計は全体の１/２１でした。
（１）男子生徒と女子生徒の人数の比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
（２）全体の人数が５００人以上６００人以下のとき、全体の人数は何人ですか。」　2006

（１）男子生徒をX人、女子生徒をY人とする。

０．０５X ＋０．０４Y ＝（ X ＋ Y ） ×　１／２１

１／２０ × X ＋ １／２５ × Y ＝ １／２１ × X ＋ １／２１ × Y

１／２０ × X ー １／２１ × X ＝ １／２１ × Y ー １／２５ × Y

１／４２０× X ＝ ４／５２５ × Y

５２５ × X ＝ １６８０ × Y

したがって、

X ： Y ＝ １６８０ ： ５２５ ＝ ３３６ ： １０５ ＝ １１２ ： ３５

＝ １６ ： ５（答え）

（２）２１の倍数で、５００以上６００以下では ５０４、５２５、５４６、５６７、５８８。これらの数字の人数のうちの５／２１が女子生徒の人数であり、さらに１００点をとった女子生徒は １／２５だったので、１０５（ ５／２１ × １／２５ ＝ １／１０５ ）で割りきれる人数でなくてはならない。

したがって、５２５人（答え）

灘６０

「 ４個の整数a、b、c、dがあり、bはaより１大きく、cはbより１大きく、dはcより１大きいです。a×b＋b×c＋c×d＋d×aを計算すると２４００になるとき、aを求めよ。」　2018

a ×（a＋１）＋（a＋１）×（a＋２）＋（a＋２）×（a＋３）＋ a  ×（a＋３）＝２４００

aa、1a、 aa、 3a、 2、 aa、 5a、 6、 aa、 3a

全部たすと、

4aa＋12a＋ 8　＝２４００

4a ×（a＋3）＝２３９２

a ×（a＋3）＝５９８

さてと、素因数分解するか、、

（２９９、２３、１３、２）

ふふん　２３や（答え）

２３×１３×２→２３×２６→２３×（２３＋３）は５９８

あー、しんど。おやすみ

（本素因数分解はかなり端折ってます）

灘５９

「 Ａ地点とＢ地点を結ぶ一本道がある。この道に沿って、太郎君はＡ地点を出発しＢ地点まで、次郎君はＢ地点を出発しＡ地点まで、それぞれ一定の速さで歩く。２人は同時に出発し、途中ですれちがった。すれちがってから２５分後に太郎君がＢ地点に到着し、さらにその２４分後に次郎君がＡ地点に到着した。太郎君の速さは次郎君の速さの何倍ですか。」　2009

国語の問題みたいやな。

次郎君が歩いてきた距離を太郎君は２５分かけて歩き、太郎君が歩いてきた距離を次郎君が４９分かけて歩いたということになるやろうな。

太郎君と次郎君がすれ違うまでに歩いた時間を Q 分とすると、

太郎の歩速 × ２５ （距離）と、次郎の歩速 × Q（距離）は等しく

太郎の歩速 × Q（距離）と、次郎の歩速 × ４９（距離）は等しい

距離を １ とすると、

太郎の歩速と次郎の歩速の比は、

① １／２５ ： １／Q  であり、

② １／Q  ： １／４９ である。

① と ② の比は等しいので、

 １／２５ ： １／Q  ＝ １／Q  ： １／４９

が成り立ち、

Q  ： ２５ ＝ ４９ ： Q

Q  ×  Q  ＝ ２５ × ４９（ ＝ ５ ×５ × ７ × ７ ）

Q ＝３５

ぞして、つまり、次郎君が３５分かけて歩いた距離を太郎君は２５分で歩いたということになろう。

太郎君の歩速１／２５に対して、次郎君の歩速は１／３５となり、

１／２５  ÷  １／３５ ＝ ３５／２５

したがって、太郎君の歩速は次郎君の歩速の ７／５倍（答え）

数・算オリ６

「 ６７８９＋７８９６＋８９６７＋９６７８を求めよ。」　2005

千 百 十 一

６ ７ ８ ９

７ ８ ９ ６

８ ９ ６ ７

９ ６ ７ ８

ひっ算するように縦に眺めてみると、

どちらの位でも（６、７、８、９）の組み合わせで、合計すると３０な

平均は、７．５

とすると、

千単位で、　７．５ × １０００ 

百単位で、　７．５ × １００ 

十単位で、　７．５ × １０ 

一単位で、　７．５

つまり、（７５００＋７５０＋７５＋７．５ ）× ４ となり、３３３３０（答え）

ルイージに、

灘５８、洛南６