宇宙の形、ガウスの曲面論と内在幾何（第２回）

カール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）

[テキスト版]

私たちの宇宙は３次元空間ですが、説明をわかりやすくするために２次元空間の宇宙で考えてみましょう。

18世紀から19世紀にかけて２次元の空間、つまり曲面の性質の研究をした数学者がいました。ドイツの有名な数学者のガウスです。

ガウスは、徳川第11代将軍家斉や第12代将軍家慶と同時代を生きた人です。とても頭がよさそうに見えますね。

ガウスの業績をあげればきりがありませんが、そのうちのひとつに「曲面についての研究」があります。高校の数学でも球面や放物面、円錐や円筒の側面などを学びますし、そのうちのいくつかについては数式での表現も学びます。「曲面についての研究」とだけ聞くと、それほど難しいことをやっていたようには思えません。でもそんなはずはありませんよね。彼が業績として遺した曲面の理論については、後で説明することにいたします。


さて、ここでガウスさんに登場してもらいましょう。２次元空間に住んでいる「平面ガウスさん」です。平面にガウスの肖像画を貼り付けて、方眼紙のように縦横に座標を描いてみました。



このガウスさんは平面の世界に縛られているので、縦と横の方向しか認識できません。あなたを見つめているように見えますが、あなたのいる方向はガウスさんが認識できない３つめの方向なので、ガウスさんにあなたは見えていないのです。

1905年に発表されたアインシュタインの特殊相対論によると、物体が等速で運動すると運動する方向に空間が縮むそうです。ですのでガウスさんに横方向に運動してもらいました。私たちから見るとガウスさんの横幅が縮んだことがわかります。この画像です。



でも、ガウスさんは自分の横幅が縮んだことを認識しているでしょうか？空間が縮むのと一緒にガウスさんも縮んだのですから、彼には周囲の空間に変化がおきたとは感じられないのです。ですから彼は自分が縮んでいるとは感じていません。そして彼の周囲にある三角形や円、四角形も形が変わっているようには見えません。

けれども（肖像画には描きませんでしたが）私たちから見るとガウスさんや彼の周囲にある三角形や円、四角形は横方向に縮んで見えるはずです。想像できますよね？

つまり、私たちの住む３次元世界とガウスさんが住む２次元世界の幾何学（面や３次元空間の座標）は別物なのです。私たちとガウスさんは長さの尺度が違う別の世界に生きているのです。

私たちの住む世界の幾何学を「外在幾何」、ガウスさんが住む世界の幾何学を「内在幾何」と呼ぶことにします。ガウスさんがいる２次元の世界の座標を基準にした線と角度だけであらわすから「内在」だというわけです。ガウスさんにとって私たちがいる３次元空間は見ることができない外（高次元）の世界なので、その世界の座標を基準にした線や角度であらわされる幾何学を外在幾何と呼ぶわけです。

ガウスさんの２次元世界は私たちの３次元世界に埋め込まれているので「内と外」という区別をするのです。外在幾何と内在幾何の違いは大切ですので、しっかり覚えてください。

私たちにはガウスさんが２次元の世界に閉じ込められているように見えますが、ガウスさんは３次元世界を知らないのですから自分が閉じ込められているとは思っていません。ガウスさんの宇宙も私たちの宇宙と同様、無限に広がっていますが、利用できる手段は内在幾何だけなのです。


次にとてつもなく大きな重力波がやってきて、空間が波打つ状況を描いてみましょう。次の画像のようにガウスさんの姿は私たちから見ると波打って見えます。



平面が「正の方向に曲がる」と平面は凸レンズのような曲面になります。私たちからはガウスさんの姿がこのように右の眉毛のところが盛り上がったように見えます。



平面が「負の方向に曲がる」と平面は馬の鞍に貼り付けたように曲がります。私たちからはガウスさんの姿がこのように眉や目、口などが鼻のほうに寄って見えます。



さらに続けましょう。空間が渦を巻き始めました。ガウスさんの顔は鼻を中心に渦を巻き、醜く変形してしまいます。



球や円筒の側面にガウスさんの２次元世界を貼り付けることもできます。私たちからはそれぞれ次のようなガウスさんを見ることになります。

球面の世界にいるガウスさん


円筒の側面の世界にいるガウスさん



このようにガウスさんのいる空間が変形することで、私たちにはガウスさんの姿がそれぞれ違った形に見えるわけです。

けれどもガウスさんはどのように感じているでしょうか？空間といっしょに自分の形もひきずられて変化するので、ガウスさんは相変わらず自分が真っすぐな空間に住んでいると信じています。彼からは周囲の物体の形にまったく変化は見られません。ここが不思議で面白いところです。



ガウスさんのいる世界を宇宙だと考えれば、たとえ宇宙が曲がっていてもその内部にいる限り周囲の空間はいつも真っすぐに見えるので、宇宙の形はわからないのだと思えます。でも、はたして本当にそうでしょうか？


ところで、私たちが住んでいる３次元の空間の幾何学はX、Y、Zの３方向に伸びる空間の中であらわされます。これが外在幾何の座標システムで、その中にあるすべての場所は（x, y, z）の座標で示すことができます。この座標システムでガウスさんのいる曲面を方程式にして書くと、それぞれx,y,zを使った複雑な数式で表現できます。（もちろん難し過ぎるからここでは紹介しません。）

ガウスさんが住んでいる２次元の曲面の幾何学はU、Vの２方向に伸びる空間の中であらわされます。これが内在幾何の座標システムで、その中にあるすべての場所は（u, v）の座標で示すことができます。ガウスさんはこの(u, v）座標であらわされる世界を、このように真っすぐな方眼紙の世界のようにとらえています。横方向を u、縦方向が v としておきましょう。



そして私たちの３次元世界からガウスさんの（u, v）の座標であらわされる世界を見ると、たとえば球に貼り付けた方眼紙のように次のように曲がった座標システムに見えるのです。




ここからがガウスさんのすごいところです。それは２次元の世界にいながら「もしかしたら私のいる２次元世界は曲がっているのではないか？」と気が付いたことです。そして気が付いただけでなく、その曲面の曲率を数式であらわすことに成功したのです。考えてみてください。ガウスさんが使える座標は u と v の２つだけですよ。

彼がたどり着いた曲面をあらわす数式は次の２つでした。（ここから少し難しくなるので無理そうな方は「まとめ：」というところまで読み飛ばしていただいて構いません。）

第一基本形式


第二基本形式


x, y, zではなく u, v だけであらわされていることがおわかりになると思います。より正確に言えば u, v ではなく du, dv となっていますが、これは u と v の方向に伸びている無限小の長さの線素（線分）の意味で、微分形式といいます。無限小の線素が u, v の２方向に無数つながり編目のようになることで曲面が作られていきます。そして du, dv のような微分形式であらわされた幾何学のことを微分幾何学と呼んでいます。



意味はともかく、そのことだけわかれば十分です。詳しい説明はウィキペディアの「驚異の定理」に書いてあります。名前が示すとおり、これはすごい発見だったのです。

なぜすごいかというと、第一基本形式だけでほとんどすべての形の曲面の曲率（正しくはガウス曲率）をあらわせることです。ふつう私たちが球面や放物面を３次元の x, y, z を使って数式にすると面の形が違うのだから数式も違ってきますよね？ でもガウスさんが導いたこの数式は、（一部を除き）ほとんどすべての曲面の曲率をあらわすことができる「一般形」、ほぼ万能な数式なのです。

２つの数式は文字の違いを除けばまったく同じ形をしています。けれども２つの数式の意味は違います。

詳しい説明はウィキペディアの「驚異の定理」に書かれていますが、第一基本形式の中のE, F, Gは曲面の中にある長さや角度だけを使って計算される値です。つまり「第一基本形式は、外在する３次元空間の情報を使わずに決まる」ことが重要なのです。

さらに第二基本形式の中のL, M, Nもuとvの関数およびdu, dvによって決まります。そしてこの式は曲面に内在する幾何学が曲面の外に在る（外在する）幾何学（空間）にどのように埋め込まれているかをあらわしているのです。第二基本形式は本質的には外在的なものになります。不思議ですよね。


まとめ：

第一基本形式はガウスさんが住んでいる２次元世界の幾何学、第二基本形式はガウスさんが住んでいる２次元世界の幾何学と私たちが住んでいる３次元の幾何学との結びつき方を示したものということになります。

また第一基本形式は du, dv だけであらわされるわけですから周囲の３次元の空間がなくても２次元の曲面の曲率を導けるということを主張しているのです。ここが２つめにすごいところです。内在幾何の威力ですね。

１つめの驚異：第一基本形式と第二基本形式は、ともにほとんどすべての曲面の曲率を表現している。
２つめの驚異：第一基本形式で求められる曲面の曲率は、その周囲の３次元空間を必要としない。

ということです。曲面を取り囲む３次元空間はあってもなくても構わないのです。



でも考えてみてください。七輪で切り餅を焼くと真ん中が膨らんで表面は平面から曲面になりますよね。周囲に３次元の空間がなくても切り餅の表面は膨らむことができるというのが２つめの脅威が意味していることです。これはすごいことですよ。なぜなら面が曲がるためには１つ次元の高い３次元空間があるのが私たちの日常感覚ですから。（そして３次元空間が曲がるためには４次元空間が必要です。）



そうです。内在幾何、つまり宇宙の中で利用可能な長さや角度を測定すれば、外から見なくても宇宙の形がわかるのです。ガウスさんは曲面の性質を研究しているうちにそのことに気が付き、数式で証明したのです。1827年、彼が50歳のときのことでした。

後にガウスの弟子になり、曲面の研究をより高い次元の空間の理論にあてはめることに成功したベルンハルト・リーマンは、このときまだ１歳になったばかりでした。


大数学者ガウスの曲面の研究は高校数学のレベルをはるかに超えたものであることがおわかりになるでしょう。

難しくなってきたので、ついてこれなくなった方がいると思います。次回の記事では、もっと具体的に、そしてやさしく解説しますのでご安心ください。ガウスの曲面論を使って第１回の記事で提起した「宇宙の形は宇宙の外に出なくてもわかるのか？」を解き明かすことにいたしましょう。

第３回の記事に続きます。


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