過不足算とは
「過不足算」とは、単位量あたりの個数の差と過不足をヒントに全体の量を求める問題です。
実際に例を見たほうが分かりやすいでしょう。
過不足算の例題1
りんごがいくつかあり、これらを家族でひとり2個ずつ分けるとりんごは7個あまり、5個ずつ配るとは5個足りなかった。このときりんごの個数を求めよ。
代表的なのは、このように『ものを特定の人数に配る問題』。人数は不明で、一人あたりに配った数とその結果の過不足から全体を求めます。
今回は一方があまってもう一方が不足しますが、両方あまる場合や両方不足する場合もあります。解き方は変わりません。
同じように、ものを袋や箱などに詰める問題も多いです。
過不足算の例題2
りんごがいくつかあり、これらを袋に3個ずつ詰めるとすべての袋を使い切ってもりんごは5個入り切らなかったのに対し、5個ずつ詰めると2個しか入らない袋が1枚だけできた。このときりんごの個数を求めよ。
『人に部屋を割り当てる際に、一部屋あたり何人ずつ割り当てるかの過不足から人の数を求めさせる問題』などもあります。
ではこれらの過不足算をどのようにして解いていくのか解説していきます。
過不足算の解き方
例題1
まずは上で紹介したこの問題について解いていきましょう。
過不足算の例題1
りんごがいくつかあり、これらを家族でひとり2個ずつ分けるとりんごは7個あまり、5個ずつ配るとは5個足りなかった。このときりんごの個数を求めよ。
解き方はいくつかありますが、分かりやすいのが図表にまとめて情報を整理してから解く方法です。
2個ずつ分ける場合と5個ずつ分ける場合の情報を1行ずつまとめて、その下にこれらの差を書きましょう。
家族の人数は不明ですが、2個ずつ分けるのと5個ずつ分けるのでは、1人につき3個の差が生じます。
そして2個ずつ分けると7個あまり、5個ずつ分けると5個不足するということは、全員に配り終えた時に12個の差が生じたということです。
一人につき3個の差が生じ、結果として12個の差が生じたということなので、12÷3＝412÷3＝4で家族は4人というのが分かりました。
りんごを4人家族に2個ずつ配って7個あまったという情報から、りんごの個数は4×2+7＝154×2+7＝15となり、15個というのが求まりました。
確認のために5個ずつ配った場合も計算すると、4人に5個ずつ配ったら20個必要になるので15個だと5個不足します。問題文に合致するので答えが正しいのが確認できました。
例題2（両方あまる場合）
両方あまる過不足算の例題
りんごがいくつかあり、これらを家族でひとり2個ずつ分けるとりんごは7個あまり、5個ずつ配るとは1個あまった。このときりんごの個数を求めよ。
これを図表にまとめると以下の通り。
家族の人数は不明ですが、2個ずつ分けるのと5個ずつ分けるのでは、1人につき3個の差が生じます。
そして一方が7個あまり、もう一方が1個あまったので、全体の差は6個になります。
一人につき3個の差が生じ、結果として6個の差が生じたということなので、6÷3＝26÷3＝2で家族は2人というのが分かりました。
りんごを2人家族に2個ずつ配って7個あまったという情報から、りんごの個数は2×2+7＝112×2+7＝11となり、11個というのが求まりました。
確認のために5個ずつ配った場合も計算すると、2人に5個ずつ配ったら10個なので1個あまります。問題文に合致するので答えが正しいのが確認できました。
例題3（両方不足する場合）
両方不足する過不足算の例題
りんごがいくつかあり、これらを家族でひとり2個ずつ分けるとりんごは1個不足し、5個ずつ配るとは7個不足した。このときりんごの個数を求めよ。
これを図表にまとめると以下の通り。
この場合も人数を求めるまでは同じ流れです。
1人あたり3個の差が生じ、結果的に全体として6個の差が生じているので家族は2人。
2人に2個ずつ配ったら1個不足したという情報から、2×2−1＝32×2−1＝3となり、答えは3個です。
5個ずつ配る場合でも必要な数の10個に対して7個不足するので、正しいことが確認できます。
過不足算を解く際のポイント
過不足算の3つのパターンをそれぞれ見ていきましたが、いずれも解き方や考え方は同じであることがわかったと思います。
いずれの場合も以下の式に当てはめて計算しているだけです。
この式から人数を求めます。図表はこの式を導くためのものなので、今回書いた図表とまったく同じ図表を書く必要はありません。
そして全体の差はそれぞれ以下のように計算します。
- 一方があまり、もう一方が不足：足し算
- 両方あまる：引き算
- 両方不足：引き算
過不足算で重要なのは、以上の枠線くらいです。
以上のことさえ完ぺきに抑えておけば、よっぽど複雑な問題が出されない限り解けると思います。
あと過不足算は答えが出た後にその答えが本当に正しいのか、問題文の情報から逆算して確かめることができます。例題を解説した際も実際に最後に確認しましたね。
こういう作業で些細なミスに気づけたりするので、時間に余裕があるときはきちんと答えが正しいか確認しましょう。
また過不足算は「差集め算」と似ており、同様の考え方で解いていくので、こちらで同時に抑えておくのをおすすめします
倍、
倍・・・にすると、他方（水の深さ）も
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と
の文字
