文系受験生を悩ます論証問題

勤務先の夏休みの初日に息子と数学の勉強。

息子が通っている予備校の夏期講習テキストに、またまた受験生が困りそうな問題がありました。

ちっと、文系のレベルを超えていると思い、回答を作ってみました。

S台予備校のテキストでは、「論証」というくくりでまとめられている問題です。

要は、平面上で（x,y）の領域が与えられ、その（x,y）の取り得る条件下で、「x+y」の最大値を求めなさい、、、

という問題です。

たいがい、（x,y）の取り得る「領域」は、受験生にも容易に図示できます。

例えば、「x+y」の最大値を問われれば、

x+y=k

と置き、これを

y＝-x＋k

と変形し、y切片が「k」で、傾きが「マイナス１」の直線（一次関数）と考え、

平面上に描いた「領域」を、直線が通過するときの最も小さなy切片を求めれば、これが「x＋yの最小値」となります。

 

ところが、このK大の問題で与えられた「領域」は、

x^2 -2xy +2y^2 = 4　・・・①

で、「-2xy」が邪魔になって、見慣れた楕円の式

(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1

に変形できず、「領域」を図示できません。

実は、「xy」項が入ると、下図のように楕円が回転します。

なお、回転した楕円の作図が課題でないため、下図の楕円の傾きは正確なものではありません。

この楕円の作図は、理系でもなかなか出来ないので、どう解こう（汗）、、、となります。

 

結論は、やり慣れた図形的な検討からの解答ではなく、

x^2 -2xy +2y^2 = 4　・・・①

に

y＝-x＋k

を代入して、xの二次方程式（係数にkの式を持つ）とし、判別式をたてます。

判別式≧０

とすると、kの範囲が得られます。

このkの範囲の上限が、「x+y」の最大値となります。めでたし

 

因に、下が自分用の自宅数学教室用セットです。

パイロットのボードマスターの、「書き味」と「消し味」が気に入り、

ネット通販で、替芯と替えインクをまとめ買いしました。

あと、一本だけ横向きの白い棒は、狭い勉強部屋でも威力を発揮するレーザーポインタです。