数・算オリ４

「 おもりア、イ、ウ、エ、オがあります。重さは1グラムか2グラムか3グラムか4グラムで、同じ重さのおもりが2つあります。これらをてんびんにのせて量ったところ、図のようにつりあいました。それぞれのおもりの重さは何グラムですか。 

          」        算オリジュニア 12th

①ア＋イ＝ウ＋エ＋オ
②ア＝ウ＋イ
③エ＝オ＋イ

②を①に代入すると
④ウ＋イ＋イ＝ウ＋エ＋オ

③を④に代入すると、
⑤ウ＋イ＋イ＝ウ＋オ＋イ＋オ

つまり、イ＝オ＋オ となり、イはオの２倍。
イは２ｇオは１ｇ、あるいは、４ｇと２ｇ。
ところが、③によれば、イとオをたした重さがエになるので、イが２ｇオは４ｇでは、エは６ｇになってしまいアウト。

ここまでで、イは２ｇ、オは１ｇ、エは３ｇが確定。
②によれば、アは、ウとイをたした重さであり、イより重くまだ定まっていない重さなので、４ｇ。ウは、イと同様２ｇ。

整理すると、
（ア）４ｇ（イ）２ｇ（ウ）２ｇ（エ）３ｇ（オ）１ｇ　（答え）

まぁ、ジュニアだから簡単か

算数オリンピックに挑戦　第3回 - 日本経済新聞

数・算オリ３

「よしこさんは魚屋さんで次のそれぞれの魚をどれも１ぴき以上、
ちょうど３６００円分買いました。

さば（１ぴきあたり１３０円）　　あじ（１ぴきあたり１７０円）
いわし（１ぴきあたり７８円）　さんま（１ぴきあたり１０４円）

さて、よしこさんはあじを何びき買ったことになるでしょうか。」　

算オリ５th

まず、ヒント：星光１２

さば、１３０円。いわし、７８円。さんま、１０４円。

最大公約数は、１３なので、３６００円から１７０円のあじを買った数をひくと、必ず１３で割り切れる。

ところで、３６００から１７０の倍数をひけば、１の位はかならず０になるので、その数が１３の倍数といえど、結局１３０の倍数になる。

つまり、「１７０の倍数と１３０の倍数とをたせば３６００になる」その倍数についての検討を要する。

１７０と１３０をたせば３００になるので、３６００を３００でわると、１２。

よしこさんはあじを１２ひき買いました（答え）。

お値段は、２０４０円

ちなみに、買った魚のうち、あじ以外すべてさばだったとすると、１３０円の１２ひきで１５６０円となる。ところが、どの魚も１ぴき以上買いましたといっているので、１５６０円で買った魚の中には、いわしとさんまもまざっている。

ところで、いわしとさんまの値段をたすと１８２円となるでしょう。１けたが 0 になるには、５倍しての９１０円。要するに、よしこさんは、いわしとさんまを５ひきずつ、さばも５ひき（１３０円かける５ひきで６５０円）買いました。

２０４０円と１５６０円を合わせると、３６００円ちょうど。

簡単そうに見えるけど、面倒な問題ですな。今までたくさんのつるかめ算を見かけてきたけれど、こりゃかなり厄介なつるかめだと思われ。

（ 不完全かも知れませんが、本案による解答も「正答」です。というのは、購入したあじの数は「１２ひき」に間違いないが、その他の数には疑いを残すから。つまり、さば５、いわし５、さんま５ 以外の組み合わせでも適う可能性あり。まぁ、本設問はあじの数しか問うていないｗ）

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日経の解答、説明では、

３６００は１３の倍数ではないので、そこに１７０円のあじがいくつかまざっているからこそ割り切れたという趣旨だった。なるほど、３６００わる１３では、あまりが１２になる。そして、１７０を１３でわると、あまりが１。ここまでいわれると、あまりの１２を解消するには、あじが１２匹必要であることがわかる。ただし、１２の倍数ならば可能であり、とはいえ、たとえば２４であれば、あじだけでたちまち３６００円をオーバーしてしまいアウト。したがって、あじは１２ひきとした。なるほどなぁ