二分法のパラドックス

　二分法のパラドックスとしても知られる競技場のパラドックスでは、ゼノンはどんな運動選手も、ゴール地点には決して到達出来ないだろうという。

　　

　運動選手が競技場のコースを走ろうとすれば、まずコース全体の中間点に到達しなければならない。この時点で、走る距離は元の長さの半分になっている。残りを走ろうとすれば、また、その中間点に到達しなければならない。残された距離は元の1/4だ。残りの1/4を走るには、またまたその中間点に到達しなければならない。残りは元の1/8だ。そうやって走っていくと、いつでもゴールに着くためにはその直前に残した距離の半分が残ってしまう事になる。つまり、運動選手はゴールに到達できないという事になる。

アリストテレスは答えて言う。

｢一つの線分が二分割の集積として完全現実的にあるとする者は、分割点を始点と終点と二つに数えて、運動を連続的ではないものとし、停止させることになるだろう。」

アリストテレス｢自然学」8卷8章

　「二分法のパラドックス」の考え方としては「アキレスと亀」の話と同じでよいと思います。「亀」を「中間点」と言い換えただけです。運動選手がゴールに着くまでにはいくらかの距離があるわけですから選手の走る先には必ず中間点もあるわけです。

　そして運動選手がゴールにたどり着けないのもアキレスと亀同様で次の理由によります。ポイントはゼノンの「選手はまずコース全体の中間点に到達しなければならない」との言葉にあります。この言葉で本来のゴールから目をそらし、中間点にだけ注意を向けるように誘導しています。中間点をあたかも目的のゴールであるかのようにすり替えているわけです。そして、「中間点に到達」との言葉で

走っている選手の動きを止めています。なぜなら、「中間点に到達」と位置が確定できるのは選手が動いていない時に限られるからです。そして、いったん止まったあとに、そこからまた残りの距離を走り出します。

　これがアリストテレスの指摘する「分割点を始点と終点と二つに数えて運動を停止させる」ということです。これで話を振り出しに戻して同じ言葉を繰り返しています。そしてこれが無限進行の原因となっています。

　別の図に変えてみます。こちらのほうが動きが速いのでゼノンの主張の不可能なことが分かりやすいと思います。

　放たれた矢はまず的までの半分の距離を飛ばなければならない。的の半分の点にまで到着したとしても更に残りの半分の半分にも、更にその残りの半分にも同様に･･･と、到着すべき地点が限りなく前に続く故に到着することができない。だから矢は的に当たらない。

　この話が現実的でない事はすぐにわかると思います。実際に飛んでいる矢の場合、的との半分の距離Aに達した後に残りの半分の距離というのが設定できないということです。だから半分の半分･･･以下の話はゼノンの作り話なのです。

　このパラドックスの要点は動きと位置の関係にあります。すなわち、動いているものの位置は不定だということなのです。これを逆に利用して位置を確定することによって動きを止めてしまうのが一連のゼノンのパラドックスなのです。

　AからBへ行くには

　ではスタート地点Aからゴール地点Bへはどうして行けばいいのか？答えは簡単です。何も考えず単純にAからBへ行けばいいのです。中間点や無限小は分けるとあらわれ、分けなければどこにもないのです。

　この連続的な推移を数字で表すのは無理なので数字ではなく記号の｢～」（波ダッシュ）をつかいます。AからBはA～BでAB両方をふくんでいるので何の問題もありません。

例

それでもゼノンは言います。「飛んでいる矢は止まっているのだ」と。

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　次の記事「飛ぶ矢」では動きと位置の関係をベルクソンの説を加えてもう少しくわしく解説しています。前の記事「アキレスと亀」との三部作になります。

追加

半分という言葉の表現に問題があります。「半分」の意味のなかには1/2も1/4 も1/8も同時に含まれているからです。

1/2は1の半分

1/4は1/2の半分

1/8は1/4 の半分•••

これが無限に続きます。

こちらのほうが1/2のパラドックスでは動きや位置の関係よりも大きな原因になっているかもしれません。