入射角と反射角は等しくない。（力学）

そもそもどうして入射角と反射角は等しいのだろうか？

ファインマン物理学の第２巻の冒頭。光学の理論にはいるところでふと考えてしまった。高校物理どころか小学校の理科でも教わる「常識」であるはずなのに、自分はその理由を答えられないことに気がついたのだ。このままでは気になって眠れない。深夜にもかかわらずこのような記事を書いているのはそんなわけである。

光線の場合には入射角と反射角が等しいことは感覚的に納得しやすい。



光が粒子であろうと波であろうと、このことは正しいように思える。

ビリヤード球が斜めから壁にぶつかるときだって同じ理屈が成り立つのだと授業では習うし、試験のときもこの法則を「無条件に」使う。

けれどもビリヤード球は大きさのある剛体だから回転についての慣性モーメント（回転のしにくさをあらわす量）があるはずで、それを考えに入れてもこのことは成り立っているのだろうか？これがそもそもの疑問の発端である。もしかしたらビリヤード球のときは入射角と反射角は等しくないのでは？と思ったのだ。

強く突くと球は回転せずにビリヤード台の上をすべり、このような感じで壁に反射する。このときは回転についての慣性モーメントを考えなくてもよいので入射角と反射角は等しく思える。図では球は手前から壁にぶつかり右方向にはじき返されることをあらわしている。



しかし、無重力空間に浮かんだ壁面にビリヤード球を回転させずに衝突させた場合を考えてみる。ビリヤード台はないものとしよう。慣性の法則により直進していく球は衝突後には上から見て左回りに回転するはずなので、そのトルク（力）を受けたために反射角は本来の進行方向よりも手前になると想像できる。

さらに次の場合はどうだろう。ビリヤード台の上で球をゆっくり突いたらどうなるだろうか？すべらずに転がりながら壁にぶつかるはずであり、反射後も転がっていくはずだ。図では球の回転軸を赤い直線で示している。



壁に衝突した瞬間、球には壁の摩擦力によって図の青軸方向のトルク（力）が働くはずである。その結果、球は上から見て左回転するはずだ。そして衝突の前後では球のころがりの回転軸も瞬間的に変化する。詳しい力学はともかく球の角運動量が変化することは確かだ。この場合どう考えても入射角と反射角が同じになるとは思えないのだ。

さらに球を突く強さを「中間的」にし、衝突の前では回転はなく衝突後にころがる場合だって考えられる。ころがり摩擦や壁面での衝撃吸収によって衝突の前後で減速するようなケース。このときに考えられる回転の力学も上のものと違ってくるだろう。それをあらわしたのがこの図だ。



計算で証明できていないので説得力には乏しいのだが、学校で習う「入射角と反射角は等しい。」はどうも疑わしいのである。

入射角と反射角を等しくさせない理由は回転についての慣性モーメントのほかに、壁の材質による理由もありそうだ。



ビリヤードの場合、壁の材質もやわらかいので球が衝突する瞬間、上の図のように球の進入方向と反射方向に違う大きさの反作用の力が働く。明らかに進入方向に働く反作用の力のほうが大きいのだ。

このため反射した球は入射角と同じ角度の反射方向と想定される直線よりも手前にはじき飛ばされることになる。これが入射角と反射角を等しくさせない２つ目の理由だ。

ビリヤードの上級者ならば入射角と反射角が等しくないことは常識なのかもしれない。それにもかかわらず僕は学校で習ってきたとおりのことに全く疑問を感じず、そのまま信じ込んでいたのだ。浅はかなことだ。

ビリヤード球の入射角と反射角が等しくないことを上手に説明しているページを見つけたので紹介しておこう。なるほどと納得するはずだ。

ビリヤード基礎知識（バンク反射）
http://www.paostyle.tv/billiard/contents/kiso_bank_hansya.html

そもそもビリヤードは球のどの部分を突くかによってさまざまな「変化球」が生まれるものだ。曲線を描いて転がすことだってできる。どのような回転の状態で壁に衝突するかによっても反射角は変化してしまう。ビリヤードの変化球については次のページをご覧になるとよい。なかなか複雑なものである。

ビリヤードの変化球について説明しているページ
http://www.sbygd.net/tcat3.html

こう考えると学校で教わる「入射角と反射角は等しい。」は理想的条件で成り立つことがおぼろげにわかる。しかし現実のビリヤード球のように大きさのある剛体のときは本質的に間違っているのではないか。理想的条件にできるのはせいぜい壁の固さだけで、回転についての慣性モーメントの影響は依然として残ってしまう。

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翌朝に追記：

眠れずに考えていたところ、学校で教わる「入射角と反射角は等しい。」は理想的条件で成り立っているのだということが詳しくわかってきた。ビリヤード球と壁の接触時間が無限小でかつ完全弾性衝突をする場合、壁が球を押す力は垂直成分しかないからビリヤード球の速度の壁に平行な成分には影響を与えない。だから「入射角と反射角は等しい。」ことが成り立つわけだ。

しかし、現実にはこの接触時間は無限小ではないのと完全弾性衝突でないため、接触時における球の回転の具合によって異なる力が壁と平行な方向に働く。そのために「入射角と反射角は等しくない。」ということがおきる。接触時間には壁と球の材質の他に球の速度と質量も関係してくるだろう。また壁に垂直な方向の反発係数（はねかえり係数）も衝突後の球の速度の壁に垂直な成分に影響を与えるはずだ。

つまり入射角と反射角が等しくなくなる要因は

１）接触時間の長さ
２）反発係数（はねかえり係数）
３）摩擦係数（ころがり摩擦係数とすべり摩擦係数のどちらなのか？）
４）接触点で球が壁から受ける反発力の大きさと方向。これは接触時の球の回転方向とその「角速度ｘ球の慣性モーメント」、３）の摩擦係数によって変わる。

の４つであるのだと思える。そしてこれら４つは独立ではなさそうだ。しかし僕にはまだそれらの関係がよくわかっていない。３）は４）を得るために必要だし、４）と１）も衝突後の球の速度に影響を与えそうである。

「完全弾性衝突」を仮定することで、これら４つの要因は無視できるようになる。学校で習う物理学は全く都合のよいものだ。

更に考察を深めると、このあたりの「跳ね返り」のからくりは壁面と球を構成する原子配列の格子モデルや応力テンソルのモデルで解明されるのかもしれない。それとも電子のクーロン力による反発力のモデルまで考えるべきなのだろうか。いずれにしても物性物理学の範疇であるにはちがいない。摩擦係数や反発係数という実験値がこれらのモデルから導けるのかどうかは興味深い問題だ。

よく考えてみれば、靴底と地面は完全弾性衝突していず摩擦力が働いているから僕らは前に走れるのであり、車は前進することができるわけだ。もし完全弾性衝突していればつるつるすべって前に進めるはずがない。だから現実世界の球の衝突現象では入射角は反射角に等しくないことがはるかにもっともらしいと思えるのだ。
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今日の説明は定性的なものに終始したが、いつかこれを数式計算で証明してみたいものだ。これだから力学はあなどれない。学校で習うことを鵜呑みにしてはいけないのだ。

というわけで、一応は納得したので今夜は安心して眠れそうだが、いや待てよ。光のときはどうして入射角と反射角が同じになるのだろう？

光を粒子と考えればビリヤード球のようになるのではないか？波動と考えると壁の表面ではどんな現象がおきているのだろう？そのことから説明がつくのだろうか？

やはり「ファインマン物理学 第２巻：光、熱、波動」を読んでみるしかあるまい。


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入射角と反射角は等しいのだが．．．（光学）
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