アインシュタイン選集（２）: [A9] 重力波について（1937年）

アインシュタイン選集（２）: [A9] 重力波について（1937年）

[A9] 重力波について（1937年）

１つ前の「[A8] 重力波について」という論文が発表されて19年後に書かれたのが今回の論文だ。アインシュタインとローゼンの２人による。

この論文では以前の論文に比べて具体的で、円筒型の重力波についての厳密な解が紹介されている。第Iの部分では読者の便宜のために、原理的にすでにわかっている重力波の理論と、その生成について述べている。重力場に対する波動的な厳密解が存在するかどうかについて疑問を起こさせるような関係式に到達してから円筒型の重力波について厳密に検討を行なっている。その結果、厳密解は存在し、特にユークリッド空間でそれは普通に切られた円筒型の波に帰着されることがわかった。

なぜ円筒型について考察するかということについては、それは座標の原点のまわりを回転する質点を考えたときに、そこから発生する重力波が円筒型であるからだ。惑星の公転運動に対比させたのである。


I. 平面波の問題に対する近似解および重力波の生成

重力波の生成については[A8]の論文同様、重力場の方程式の解を求めるための近似法を使う。重力場の方程式とはこのようなものだ。

R(u,v) - 1/2 * g(u,v) * R = - T(u,v)

ここで計量テンソル g(u,v) を次のようにガリレオ型空間δと重力場の影響によるずれgγの部分に分けておく。

g(u,v) = δ(u,v) + γ(u,v)

そしてミンコフスキーに従って時間座標を虚数に選ぶ。重力場を弱いものと仮定すれば重力場の方程式の中にはγ(u,v)やその微分はいろいろな冪としてあらわれる。そこでもしγ(u,v)が至るところで1にくらべて十分小さいものとし、重力場の方程式でγ(u,v)およびその微分係数について最低次のものにくらべて高次のものはすべて無視するという近似的手法が成り立つとすれば、重力場の方程式の解を得ることができる。いま、γ(u,v)のかわりに

γ'(u,v) = γ(u,v) - 1/2 * δ(u,v) * γ(α,α)

によって定義されたγ'(u,v)を導入すると重力場の方程式を書き換えていく。

数式を紹介することがこの記事の目的ではないのでこれ以降の数式展開は省略する。

１ページ程度の計算によって、アインシュタインは重力場の方程式から導かれる（進行）平面重力波が次の３つの場合に分けて考えられることを示した。

(a) 純粋の縦波
(b) 縦横混合波
(c) 純粋な横波

さらに２ページほどの計算を行なって、(a)と(b)の場合は見かけの重力波にすぎないことを彼は証明した。すなわち実在する平面重力波は(c)の純粋な横波の場合だけである。ただ、この横波の中にも見かけ上だけの波が含まれているので、その部分を式から慎重に排除する形で説明を続けている。

重力波はエネルギーを伝播するのだから、質点から重力波が放射され続ければエネルギーは失われていくことになる。この問題について彼は物質系のエネルギー保存則を取り入れることで解決した。すなわち２つの等しい質量をもった質点がバネで結ばれているときに見られる弾性振動のように重力波の振動は減衰のない振動であると考えるのである。

その結果、重力波は物質系から外側に向かって放射される進行波と物質系に向かって入り込む後退波が合わさってできる定常波となる。重力波によってエネルギーが失われない理由はこれにより説明される。


II. 円筒型の波に対する厳密解

この部分でアインシュタインとローゼンはより具体的に重力波を計算する。回転軸の周りを回る質点が放射する重力波が「円筒型」なのだ。

円筒座標を使った６ページにわたる込み入った計算と説明によって、重力波が定常波として存在し、それがエネルギーを運ぶことを示した。



重力波は2015年9月14日にLIGOにて検出され、2016年2月11日にその発表が行われた。

重力波の直接観測に成功！
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/a8439e8e4d81d7873422737d7bd1640d



関連リンク：

アインシュタイン選集（１）
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/26d6fc929bf7b9f0fc1e2a210882f559

アインシュタイン選集（２）：読みはじめた
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/d3d0869ab3911e84845b5b121bd1aa3e

時空の幾何学：特殊および一般相対論の数学的基礎
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ffc643a688ce45dec7460d107fe1392e

少年の頃の夢（の続き）
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/a6e4b9271cd56b2e85c3bdaa0b8b7cae

趣味で相対論
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/90aa60383b600ff4e4fd7bea6589deaa

とね書店：

アインシュタイン選集（１）
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