算数クイズ図形、いよいよ本番！早稲田（わせだ）大学の入試問題にチャレンジ！前回までをおさらいしておこう。小中学生にもとけますよ。
[問題]
半径(はんけい)r（あーる）の球（きゅう）の表面（ひょうめん）に、異(こと)なる四つの点A,B,C,Dがあります。AB＝CD＝2、AC^2＝AD^2＝BC^2＝BD^2＝6であるとき、r^2の長さをもとめなさい。※「^2」は2乗(にじょう)をあらわします。
球【きゅう】
ボールのような立体（りったい）。平面（へいめん）で切ると円（えん）ができる。円は「線対称」（せんたいしょう）なので、球も「線対称」になる。
写真を見てください。直方体(1)に、二等辺三角形ACDをかきます。二等辺三角形ACDに「対称軸」（たいしょうじく）をひき、直角三角形ACEをつくります。斜線(しゃせん)をひいた図形です。これは直角三角形なので、「三平方の定理」(さんへいほうのていり)がなりたちます。
CE＝EDで、CEはCDの半分なので、
CE＝CD÷2＝2÷2＝1
また、[問題]より
AC^2＝6
三平方の定理より
AC^2＝CE^2＋AE^2
6＝1^2＋AE^2
AE^2＝6-1＝5
AEは、直方体(3)のAIとおなじ
AE^2＝AI^2＝5
次に、直方体(2)に二等辺三角形ABOをかきます。ここでのO（オー）は、直方体の対角線（たいかくせん）の交点（こうてん）で、もとの球の中心になります。つまり、AOは球の半径rにもなります。
二等辺三角形ABOに「対称軸」をひき、直角三角形AGOをつくります。斜線をひいた図形です。これも直角三角形なので、「三平方の定理」がなりたちます。
AG＝GBで、AGはABの半分なので、
AG＝AB÷2＝2÷2＝1
三平方の定理より
AO^2＝AG^2＋OG^2(＝r^2)
OG^2がわかればこの式が解けますね。
最後に、直方体(3)に二等辺三角形ABIをかきます。二等辺三角形ABIに「対称軸」をひき、直角三角形AFIをつくります。斜線をひいた図形です。これも直角三角形なので「三平方の定理」がなりたちます。
AF＝FBで、AFはABの半分なので、
AF＝AB÷2＝2÷2＝1
先に求めた
AE^2＝AI^2＝5
三平方の定理より
AI^2＝AF^2＋FI^2
5＝1^2＋FI^2
FI^2＝5-1＝4
FI^2＝4＝2×2
FI＝2
OGはFIの半分ですから
OG＝FI÷2＝2÷2＝1
OG^2＝1×1＝1
AO^2＝AG^2＋OG^2(＝r^2)
r^2＝1^2＋1^2
r^2＝1+1=2
大学の入試問題がとけました！(ＺＲ)
[問題]
半径(はんけい)r（あーる）の球（きゅう）の表面（ひょうめん）に、異(こと)なる四つの点A,B,C,Dがあります。AB＝CD＝2、AC^2＝AD^2＝BC^2＝BD^2＝6であるとき、r^2の長さをもとめなさい。※「^2」は2乗(にじょう)をあらわします。
球【きゅう】
ボールのような立体（りったい）。平面（へいめん）で切ると円（えん）ができる。円は「線対称」（せんたいしょう）なので、球も「線対称」になる。
写真を見てください。直方体(1)に、二等辺三角形ACDをかきます。二等辺三角形ACDに「対称軸」（たいしょうじく）をひき、直角三角形ACEをつくります。斜線(しゃせん)をひいた図形です。これは直角三角形なので、「三平方の定理」(さんへいほうのていり)がなりたちます。
CE＝EDで、CEはCDの半分なので、
CE＝CD÷2＝2÷2＝1
また、[問題]より
AC^2＝6
三平方の定理より
AC^2＝CE^2＋AE^2
6＝1^2＋AE^2
AE^2＝6-1＝5
AEは、直方体(3)のAIとおなじ
AE^2＝AI^2＝5
次に、直方体(2)に二等辺三角形ABOをかきます。ここでのO（オー）は、直方体の対角線（たいかくせん）の交点（こうてん）で、もとの球の中心になります。つまり、AOは球の半径rにもなります。
二等辺三角形ABOに「対称軸」をひき、直角三角形AGOをつくります。斜線をひいた図形です。これも直角三角形なので、「三平方の定理」がなりたちます。
AG＝GBで、AGはABの半分なので、
AG＝AB÷2＝2÷2＝1
三平方の定理より
AO^2＝AG^2＋OG^2(＝r^2)
OG^2がわかればこの式が解けますね。
最後に、直方体(3)に二等辺三角形ABIをかきます。二等辺三角形ABIに「対称軸」をひき、直角三角形AFIをつくります。斜線をひいた図形です。これも直角三角形なので「三平方の定理」がなりたちます。
AF＝FBで、AFはABの半分なので、
AF＝AB÷2＝2÷2＝1
先に求めた
AE^2＝AI^2＝5
三平方の定理より
AI^2＝AF^2＋FI^2
5＝1^2＋FI^2
FI^2＝5-1＝4
FI^2＝4＝2×2
FI＝2
OGはFIの半分ですから
OG＝FI÷2＝2÷2＝1
OG^2＝1×1＝1
AO^2＝AG^2＋OG^2(＝r^2)
r^2＝1^2＋1^2
r^2＝1+1=2
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