663 動画：(e^Z)^)^sinhZ+λ画像の変容

(e^Z)^)^sinhZ+λ画像の変容の動画を作成した→ その動画

動画作成条件は以下のとおり。

・複素関数：(e^Z)^)^sinhZ+λ , λ=0.1→0.982 , 0.15秒/コマ
・N-loop脱出条件：Q=1/(log|X|log|Y|) , |Q|＞10 or |Q|＜0.1
・pset条件： |X|＜10 or |Y|＜10


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参考：静止画像は以下のとおりである。λ=0.1, 0.28, 0.46, 0.64, 0.82, 1 の6種類

651 動画 (sin(sin Z))^(cos(sinZ))+C 画像の変容

(sin(sin Z))^(cos(sinZ))+C 画像の動画を作成した → その動画

動画画像条件は以下のとおり。

・複素関数：(sin(sin Z))^(cos(sinZ)) +C ,C=0.1→1 ,0.15秒/コマ
・N-loop脱出条件：Q=1/(log|X|log|Y|),|Q|＞10 or |Q|＜0.1
・pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10

注：この動画では C の変化は時間的にリニアに連続変化させている。
動画の途中で色が激変する箇所があるが、それを連続変化させるようとするためには其の箇所でコマ数を増やして連続可能か否かを調べる必要がある。

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参考：静止画像は以下のとおりである。C=0.1, 0.28, 0.46, 0.64, 0.82, 1 の6種類。

645 Z^(e^Z)+μ画像の変容

Z^(e^Z)+μ画像を動画化した→その動画


この画像の静止画像は記事146で記載している。
動画画像条件は以下のとおり。

・複素関数：Z^(e^sin Z)+μ で、μ=0.1→1 ,0.15秒/コマ,コマ数は51コマ

・N-loop脱出条件は、『Q=1/(log|X|log|Y|)として、もし、(|Q|＞10 or |Q|＜0.1 ならば脱出する』。　

・pset条件は、『N-loop脱出後、もし、(|X|＜10 or |Y|＜10)ならば、psetする』。

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参考：静止画像は下図のとおり。μ=0.1, 0.28, 0.46, 0.64, 0.82, 1 の6種類。

642 動画：sinsinZ/(e^sinZ)+λ画像の変容

sinsinZ/(e^sinZ)+λ画像の変容→ その動画(0.2秒/コマ)


同上 → その動画(0.1秒/コマ)


この動画の作成条件は以下のとおり。

・複素関数： sinsinZ/(e^sinZ)+λ, λ=0.1→1 (0.2秒/コマ,0.1秒/コマ)
・表示範囲：XS=-1.5π,XE=0.5π,YS=-0.75π,Ye=0.75π
・N-loop脱出条件：Q=1/(log|Xlog|Y|),(|Q|>10 or |Q|<0.1)
・pset条件：|X|<10 or |Y|<10

616A 動画：Z^Z+Z+λ 画像の変容

Z^Z+Z+λ 画像の変容動画→ その動画

この動画の画像の作成条件は以下のとおり。

・複素関数：Z^Z+Z+λ, λ=0.1→2
・N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100
・pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
・Nmax=50,Nmin=1
・N-loop脱出後の色：C=No mod 16,C=7→8
・R=0→1.5
・θの回転方向：θ=+π→0→-π

参考：この動画の静止画像は以下のとおり(記事616)

615 アニメ：Z^Z+Z+0.3 画像の変容

下記の画像作成条件の画像を動画化した。

・複素関数：Z^Z+Z+0.3
・N-loop脱出条件：X^2+Y^2>100
・pset条件：|X| ・Nmax=50,Nmin=1
・N-loop脱出後の色：C=No mod 16,C=7→8
・R=0.1→12
・θの回転方向：θ=+π→0→-π

Z^Z+Z+0.3 画像の変容→ その動画

注：静止画像については記事470(下図)参照。

610 Z^Z+Z^6+C 画像のアニメ化

以下の画像作成条件の画像をアニメ化する→その動画

・複素関数：Z^Z+Z^6+CC ,CC=0.1→2 step値=(2-0.1)/100=0.019,101コマ
・N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞10
・pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
・psetの色条件：色コードNo.C=No mod 16
・アニメの再生時間：12秒

599 e^Z+C 画像のアニメ

前記事596で示した画像:e^Z+C (Cは実定数)にて、C=0.01→2 までリニアに変化させたらどんな動画になるか試してみた。以下、その動画。

e^Z+C,C=0.01→2 の動画　→　その動画


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ちなみに此の動画画像作成条件を再掲しておく。

・複素関数：e^Z +C (C=0.01→2)
・N-loop脱出条件：『Q=1/(logX*logY』としたとき、もし、
(|Q|>10 or |Q|<0.1)ならば脱出する』
・pset条件：『N-loop脱出後、もし、(|X|<10 or |Y|<10)ならば、psetする』
・画像表示範囲：0<=Yi<=2π, |Xi|<=2π/640*240=0.75π

596 アニメ：連続したジュリィア集合画像(その4)

上図の赤点に対応するジュリィア画像が下図である。



下図は、上図においてNo (N-loop脱出時のN値) が偶数の時→赤、奇数の時→黒 にした画像である。



上の画像において、No (即ち、N-loopを脱出する時のN値) を、小さい順に表示させていった動画を示す。

Noを小さい順に表現した動画→　その動画

『Noが小さい順』とは換言すれば、『N-loopを早く脱出する』と同意である。

今迄のマンデルブロ画像やジュリィア画像でも、そうであったが、この画像においても、『ら線』画像が随所にあり、今迄に示した画像においては、その『ら線』反時計方向に収斂していった。

今回の画像は、動画及び下図の静止画像でも分かるように、『ら線』が反時計方向へ収斂していく部分と、時計方向に収斂していく部分とに分岐している画像構造になっている。



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このジュリィア画像の『ら線』の部分の拡大図は記事359で掲載している。
以下は此の記事での画像である。

下図が反時計方向に収斂する『ら線』の拡大図である。




下図が時計方向に収斂する『ら線』の拡大図である。

595 Z^2マンデルブロ点列における、Z0～Z15の軌跡の変容

前記事595では、Z^2マンデルブロ点列における、Z0及びZ15～Z15の軌跡の変容の動画を掲載した。

今回は、Z0～Z15の点列、即ち、

Z0,Z1,Z2,・・・,Zn,・・・Z15 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

の軌跡の変容を表す動画を紹介する。　

Z0～Z15の点列の動画→　Z0～Z15の点列の挙動

***

この動画の詳細な解説は記事588を参照。ここで概略な説明をしておく。

巡回式:Z←Z^2+λは、点列(1)で表される。ここで、λは複素定数。

ここで、Z0=λ とする。

極座標を用いて、半径λの円における点列(1)の挙動画像を求める。

この場合、点Znの色はBASIC/95のカラーコード番号nに一致させている(カラーコードは画像の右上に示してある)。

Z0=λは、半径=λの黒(n=0)で表示される。そして例えば Z1 は青色(n=1)で表示される。

ここで、λを 0.11→1.36 step 1 ずつ増加させていく。

***

この動画で興味深いのは以下のことだ。(記事595と基本的に同じ。)

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1.点Z0(黒い円)がマンデルブロ集合内の或る範囲内では、Z1～Z15も近似的な円を描く。その場合、その円の大きさはZnのnに従って振動している。

2.更に、点Z0(黒い円)がマンデルブロ集合内の或る範囲内で増加していくと、Z1～Z15は捻じれた「ら線」状曲線を描き始め、Z0の増加につれて其の「ら線」も増大していく。

2.点Z0(黒い円)がマンデルブロ集合の境界に達すると、Z1～Z15の曲線は混沌とした錯乱状態の「乱舞」を呈するようになる。

3.その錯乱した「乱舞」は、点Z0(黒い円)がマンデルブロ集合の「頭部」の境界を過ぎるまで続く。

4.点Z0(黒い円)がマンデルブロ集合の「頭部」の境界を過ぎると、Z1～Z15の曲線は「柔らかな舞い」になる。

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Z1～Z15の挙動は明らかにマンデルブロ集合の境界線と密接な関係があり、その挙動の複雑さには或る法則が存在するに違いたないだろうが、「錯綜とした乱舞」のような文学的表現でしか私は表せない。

ともあれ、マンデルブロ画像及び其の点列の不思議さと美しさを感じざるを得ない動画だ。。

***

ここで上の動画の具体的数値を示しておく。

K=0→50000 従って、dθ=2π/50000=0.000126rad
J=0→240, Rmax=1.36 従って、dR=1.36/240=0.00567
表示画像の中心点=マンデルブロ画像の重心座標値=(-0.14,0)
点列の極座標値はマンデルブロの重心座標値に一致させるように、(-0.14,0)だけ平行移動させている。
従って点列座標値はマンデルブロ集合画像座標値と一致する。
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参考のためにBASIC/98のプログラムを下記しておく。
注：KMAXはRの大きさによって適宜変えた。

10 REM マンデルブロ点列：Z0～Z15
12 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",50,ALL
50 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",90,ALL
90 ON ERROR GOTO 50000
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
100 GOSUB 3000
101 PSET(320,240),2
102 OPEN "C:\BASIC1\RUN\DATAマンデルC.DAT" FOR INPUT AS #2
103 IF EOF(2) THEN 107
104 INPUT #2,X,Y
105 PSET (X,Y),0
106 GOTO 103
107 CLOSE #2
110 OPEN"C:\BASIC1\RUN\DATA.DAT" FOR OUTPUT AS #1
120 JMAX=240:KMAX=50000:RMAX=1.36:X0=-0.14:Y0=0
130 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=15
132 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
142 N1=220
150 J=20+N1
160 R=J*DR
170 LOCATE 0,0:PRINT "Z0,～Z15の軌跡の変容"
176 LOCATE 0,2:PRINT "Znの色はcolor code No.n"
183 LOCATE 0,3:PRINT "とすると色=n,但しn=7→8とする"
184 '
190 FOR K=0 TO KMAX
200 TH=K*DTH:THH=TH
206 CX=R*COS(TH)+X0
220 CY=R*SIN(TH)+Y0
221 X=0:Y=0
230 FOR N=0 TO NMAX
240 X1=X
250 X=FNR2(X,Y)+CX
260 Y=FNI2(X1,Y)+CY
270 Q=X^2+Y^2
272 K1=(X-CXS)/D:J1=(Y-CYS)/D
273 IF K1<0 OR J1<0 THEN 310
274 IF K1>640 OR J1>480 THEN 310
282 C=N
292 IF C=7 THEN C=8
300 PSET (K1,J1),C
310 NEXT N
390 NEXT K
400 CLOSE #1
520 END

594 アニメ：連続したジュリィア集合画像(その3)

前回の記事593では、Zc=-0.62-0.68i でのジュリィア集合画像及び其の全体画像を示した。

下図がそれらである。






今回は此の画像において、No (即ち、N-loopを脱出する時のN値) を、小さい順に表示させていった動画を示す。

Noを小さい順に表現した動画→　その動画

『Noが小さい順』とは換言すれば、『N-loopを早く脱出する』と同意である。

今迄のマンデルブロ画像でも、そうであったが、この画像においても、『ら線』画像が随所にあり、それらは、またしても、反時計方向に収斂していく。その様子が上の動画でも、よく分かる。

記事591のマンデルブロ画像の分岐もそうであったように、何故、この動画の『ら線』も反時計方向に収斂していくのだろう？

マンデルブロ画像もジュリィア画像も本質的には同じだから、その理由も同じだろうが、私には不思議である。

593 アニメ：連続したジュリィア集合画像(その2)

前回の記事592では、ジュリィア集合画像の全体画像を示した。
今回は其の全体画像の中のジュリィア集合部分 (即ち、前回の画像の黄色の部分=発散しない部分) のみの部分の動画を示す。

移動させる Zc の位置の前回と同じ下図の赤線分の箇所である。




その動画結果が右の動画である →　50等分した場合の動画


前回同様に50等分された Zc は、マンデルブロ集合の上の「こぶ」の右端を画面から見て下から上へと変化している。その場合の動画であるが、ジュリィア集合部分の「ら線」が反時計方向に回転している様子が見てとれる。

選択された Zc は単純な線分だから、ジュリィア集合部分が見えたり見えなかったりしている。もし、Zcが真のマンデルブロ集合の縁(ふち)に忠実に沿って変化していったら、ジュリィア集合部分を、もっと鮮明な変化として見ることができるだろう。

下図は、前回に示した私のお気に入りのジュリニア集合画像で、Re.Zc=-0.62,Im.Zc=-0.68の画像である。



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参考：下図は上図のジュリィア集合画像の全体画像である。

592 アニメ：連続したジュリィア集合画像(その1)

記事366において、点列：Z←Z+Zcにおいて、Zcを下図の線分を6等分したときの各点を、黒、青、赤、橙、緑、青で示したとき、それらのZcで生成されるジュリィア集合全体画像を次図に示した。





上図において黄色の部分がジュリィア集合部分である。

さて上図では線分を6等分した場合であったが、これを50等分し、それらのジュリィア集合画像を求めアニメ化したら、どのように見えるだろうか？
下図が其の50等分部分を赤線で示しており、それらの座標位置は6等分の場合と同じである。



その動画結果が右の動画である →　50等分した場合の動画

黄色に見える部分がジュリィア集合部分である。50等分されたZcは、マンデルブロ集合の上の「こぶ」の右端を画面から見て下から上へと変化している。その場合の動画であるが、ジュリィア集合部分の「ら線」が反時計方向に回転している様子が見てとれる。

選択されたCは単純な直線部分だから、黄色の部分(ジュリィア集合部分)が見えたり見えなかったりしている。もし、Zcが真のマンデルブロ集合の縁(ふち)に忠実に沿って変化していったら、黄色の部分(ジュリィア集合部分)を、もっと鮮明な変化として見ることができるだろう。

下図は私のお気に入りのジュリニア集合画像で、Re.Zc=-0.62,Im.Zc=-0.68の画像である。



なお上図の中の拡大部分の画像については、記事371を参照。

591 アニメ：マンデルブロ画像での分岐の成長の不思議さ

先ず分岐の静止画像を示す。
この画像の解説は記事583を参照。

・1-11-3-5-1 画像



・1-11-3-5-2 画像



・1-11-3-5-3 画像



・1-11-3-5-4 画像



・1-11-3-5-5 画像



・1-11-3-5-6 画像



-------------------------------------
次に上記画像における白黒模様の分岐の「成長」の変容のアニメを示す。
このアニメの解説は記事584を参照。

・1-11-3-5-1 画像での変容→　1-11-3-5-1

・1-11-3-5-2 画像での変容→　1-11-3-5-2

・1-11-3-5-3 画像での変容→　1-11-3-5-3

・1-11-3-5-4 画像での変容→　1-11-3-5-4

・1-11-3-5-5 画像での変容→　1-11-3-5-5

・1-11-3-5-6 画像での変容→　1-11-3-5-6

----------------------------------------------------------------------

これらの変容で、1-11-3-5-6画像を除いて、共通に言えることは下記のことである。

・赤黒縞模様の本体は画面上部から発生し・・・即ち其の部分がN-loopを早く脱出し・・・其の本体は、ほぼ同時に2本に分岐し相互に「ら線」状に「からまって」いく。この2本の分岐の「本流」は同一源で他の部位から派生したものではない。

・2本の分岐は互いに同一の早さで「ら線」状に「からまって」いく。即ち、N-loop脱出の早さは互いに同一である。その「ら線」は全ての画像で反時計方向に成長していく。その様態はエッシャー絵を連想させる。

・本体部及び分岐部の「成長」の早さは連続的・・・但しリニアではない・・・であり、断続していない。

・本体部が「成長」していく途中で、赤黒縞模様部の内側部の境界線は、マンデルブロ集合の境界線に、よく似た形状が見られる。しかし本体部の「成長」が進むにつれて、その形状はマンデルブロ集合の境界線とは似ても似つかぬ形状へと変化していく。

・赤黒縞模様の本体は2本に分岐し「ら線」状に「からまり」、一点へと収斂していく。その2本の分岐の赤黒の各節目から更に分岐が派生していくが、それらの分岐は2箇所(緑の箇所)へと収斂していく。

・いずれにしても、以上の赤黒縞模様部の「成長」・・・換言すれば、Noの変容はスムーズで、秩序だっており非線形性は見られない。(動画が時々飛ぶのはコマ送りの不適合さのためで本来の画像はスムーズに変化している。)

いずれにせよ、マンデルブロ画像の不思議さを痛感させられる画像であり動画である。
------------------------------------------------------------
これらの画像での座標範囲:Dを、以下に順に示していく。先ず元々のマンデルブロから始まり、その中の部分を順次拡大していく。但し、画像の色は適宜変えているが、画像の形態には無関係だと思ってよい。






＜





上図の1-11-3-5-1～1-11-3-5-6 が上に示した動画の表示範囲である。

590 アニメ：Z^2マンデルブロ点列における、Z0,Z10～Z15の軌跡の変容(その4)

前記事589では、点列の初期値:Z0を点(-1,0)・・・・これは、マンデルブロ集合画像を左側に倒れた「雪ダルマ」に見たてたときの頭部の、ほぼ中心点・・・の周りを一定値 (半径:R=0.26の円) に変化させていったきの点Z10～Z15 の挙動を調べた。今回は、Z0の其の半径:Rを、R=0.085→0.69 に連続的に変えていった場合のZ10～Z15の挙動をアニメ化したものである。

そのアニメ画像は→　Z10～Z15の軌跡の変容

前回同様に、画像の中のマンデルブロ集合の縁部分(灰色)の座標と点列の座標は一致させている。

上のアニメ画像を見れば分かるように、R(=Z0)が小さい場合は、点が 2 つのグループに分かれている。

左側のグループは、Z0(黒),Z10(青),Z12(橙),Z14(水)
右側のグループは、　　　 Z11(赤),Z13(緑),Z15(茶)

ところが、R(=Z0)が、マンデルブロの縁(ふち)に接近するにつれて、Z10～Z15の挙動は複雑に変化している。

R(=Z0)が其の縁を離れるに従い、その複雑さ消え・・・というより、Z10～Z15の値が大きくなり表示画面の外へ出てしまい、それらの挙動が見えなくなってしまう・・・Z10～Z15の、いわば乱舞が始まる。

実は、其の乱舞は、R(=Z0)が、マンデルブロ集合の縁部分(灰色)より内側、即ち、マンデルブロ集合部に入り込むと始まるのだ。

もっと正確に言うと、その乱舞が表示画面で見えるのは、R(=Z0)がマンデルブロ集合に在るときなのだ。

***

画像に示した、マンデルブロ集合の縁(ふち)部分(灰色)は近似的なもので真の縁より外側にある。

もし、Z0を真の縁にそって移動させていったら、Z10～Z15 挙動はどのような形態を示すだろうか。

カオス状態となることが予想されるが、その画像自体は、どのようになるだろうか？

いずれにしても、マンデルブロ画像は神秘性は底が知れない!!

***
以下、参考のために此のアニメ作成のBASIC/95のプログラムを下記しておく。
行270でJ=20→163にして144枚の画像を作り21秒で再生させた。

10 REM 点列の座標の中心をマンデルブロ集合の頭部の中心へ移動させたとき。R可変の場合。
11 REM 行391 N2=0→100 101枚
20 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",60,ALL
60 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",90,ALL
90 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",100,ALL
100 ON ERROR GOTO 50000
110 CONSOLE ,,0,1
120 COLOR 0,7,,,2
130 CLS 3
140 GOSUB 10000
150 GOSUB 3000
160 JMAX=240:KMAX=5000:RMAX=1.36:X0=-1:Y0=0
170 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=15
180 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
190 K00=(-1-CXS)/D:J00=(0-CYS)/D:PSET(K00,J00),1
200 K0=(-0.14-CXS)/D:J0=(0-CYS)/D:PSET(K0,J0),2
210 OPEN "C:\BASIC1\RUN\DATAマンデルC.DAT" FOR INPUT AS #1
220 IF EOF(1) THEN 260
230 INPUT #1,X,Y
240 PSET (X,Y),15
250 GOTO 220
260 CLOSE #1
270 J=20
280 R=J*DR
290 LOCATE 0,0:PRINT "点Z0の移動円の中心点をマンデルブロ集合の頭部の中心へ"
300 LOCATE 0,1:PRINT "移動させた時の点列:Z0,Z10～Z15の軌跡"
310 LOCATE 50,22:PRINT "マンデルブロ集合の重心点=(-0.14,0)"
320 LOCATE 50,21:PRINT "点列画像の中心点=(-1,0)"
330 LOCATE 70,3:PRINT "Z0→黒"
340 LOCATE 70,5:PRINT "Z10→青"
350 LOCATE 70,6:PRINT "Z11→赤"
360 LOCATE 70,7:PRINT "Z12→橙"
370 LOCATE 70,8:PRINT "Z13→緑"
380 LOCATE 70,9:PRINT "Z14→水"
390 LOCATE 70,10:PRINT "Z15→茶"
400 FOR K=0 TO KMAX
410 TH=K*DTH:THH=TH
420 CX=R*COS(TH)+X0
430 CY=R*SIN(TH)+Y0
440 X=0:Y=0
450 FOR N=0 TO NMAX
460 X1=X
470 X=FNR2(X,Y)+CX
480 Y=FNI2(X1,Y)+CY
490 IF N>0 AND N<10 THEN 550
510 K1=(X-CXS)/D:J1=(Y-CYS)/D
520 IF K1<0 OR J1<0 THEN 600
530 IF K1>640 OR J1>480 THEN 600
540 GOSUB 620
560 PSET (K1,J1),C
580 NEXT N
600 NEXT K
610 END
620 REM Z0,Z10～Z15の色の決定
630 IF N=0 THEN C=0
640 IF N=10 THEN C=1
650 IF N=11 THEN C=2
660 IF N=12 THEN C=3
670 IF N=13 THEN C=4
680 IF N=14 THEN C=5
690 IF N=15 THEN C=10
700 RETURN