スマリヤンはずいぶん多くのパズル本を出している人ですが、数学基礎論の本格的啓蒙書も多く出しています。その中からゲーデルの定理などに絡むものを一部挙げてみました。 . . . 本文を読む
自然数の性質を公理化したものはペアノの公理系の名て知られていますが、ゲーデルの不完全性定理によればペアノの公理系は統語論的に不完全です。では、我々が素朴に自然数と考えていたものとペアノの公理系が記述する自然数とは、何が違うのでしょうか？ . . . 本文を読む
数学基礎論においては、モデルの真偽とは定まっているものとみなされています。ただしその真偽を有限回の手順で決定可能とは限りません。今回は１階述語論理の完全性定理の証明の概要を示します。 . . . 本文を読む
意味論的完全性の定義はモデルにおける真偽を使ってなされますが、モデルというものを漠然と「公理系に対応する現実」などと言っていては厳密な論証ができません。数学基礎論では、集合論の枠組みの中で抽象的にモデルを定義します。 . . . 本文を読む
第一不完全性定理の本質？とは無限集合の本質に絡むものでした。すなわち無限集合には真であるなら、いや真であればこそ、帰納法では永遠に確認できない命題がある、という有名な事実がその本質なのでした。
. . . 本文を読む
