カントール集合
カントール集合は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され1883年にゲオルク・カントールによって紹介された。
カントールの三進集合とも呼ばれフラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト（塵）と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた。(wiki)
これをもっとわかりやすく視覚化したのがツリー構造です。
複雑に枝分かれするパターン
数学的な表現はチンプンカンプンですが、要するに直線の中央の線分の1/3を削除し、残った部分の中央の1/3をまた削除する。そしてこの作業を永遠に続ける。すると最後にはほぼ空白ながら、限りなく短い直線が限りなく多く残るということです。
0と1の閉ざされた有限の中に無限が入り込んだのです。
カントール集合最終のイメージ。
コッホ雪片
1905年、スウェーデンの数学者コッホはカントールの手法を応用して、のちにコッホ曲線と呼ばれる自己相似な図形を考案しました。コッホ曲線はコッホ雪片の一部として紹介されることが多い。コッホ雪片はひとつの三角形から始まり、各辺の中央の1/3を三角形に置き換えるという作業を際限なく繰り返す。その結果、辺が無限に長く、面積が有限という初期の幾何学者を困惑させるような図形ができる。
(創元社 深遠なる「幾何学の世界」より)
辺の長さは無限で面積は有限です。
0と1という有限の中に無限があるというのは矛盾です。また無限の長さの線分に囲まれた有限な図形も矛盾です。ところがこの矛盾の場所というのが「スーパーポジション」すなわち「共存の場所」なのです。
「有限であり、かつ、
無限」ということです。
見出し画
フィラエ島にある古代エジプトの建物の柱頭にはカントール集合に似た模様が付けられている。