特殊関数いろいろ

数学で「○○関数」と名のつくものをちょっとメモ

ベータ関数
B(x, y) = ∫[0, 1] t^(x-1)*(1-t)^(y-1) dt

ガンマ関数
Γ(z) = ∫[0, ∞] t^(z-1)*e^(-t) dt

ゼータ関数
ζ(s) = Σ[n=1, ∞] 1/n^2

ガウスの超幾何関数
F(α, β, γ) = Σ[n=1, ∞] {(α, n)(β, n)}*x^n/{(γ, n)*n!}

ベッセル関数の微分方程式
J''_v + (1/x)J'_v + (1-v^2/x^2)J_v = 0

ベッセル関数（の例）
J_v(x) = Σ[n=1, ∞] (-1)^n/{m!Γ(m+v+1)}*(x/2)^(2n+v)

ソニンの被積分関数
F(z, u) = e^{(z/2)*(u-1/u)}/u^(v+1) ← ?


以下とりあえず名前だけ。

テータ関数　楕円関数　ルジャンドルの球関数
ポリログ関数　ウィッターカー関数　パンルヴェ関数
グリーン関数　ゴンペルツ関数　シグモイド関数

いっぱい揃えるとなんか嬉しい。
それぞれの簡単な説明を後述していきたい。