一般的な減衰振動の解

よくあるダンパー付きばね系の減衰振動を
求めたくなったので求めながらいろいろ考察メモ。

バネ定数をk、ダンパー定数をcとします。

運動方程式
mx'' = -kx - cx'
⇔ x'' + (c/m)x' + (k/m)x = 0　・・・ (1)

ここで、x'の係数 (c/m) は、
c/m = 2[c/{2√(mk)}]{√(k/m)} = 2ζω_n
　　ζ = c/{2√(mk)}：減衰比
　　ω_n = √(k/m)：固有振動数
とおけます。

また、(1)式のxの係数 (k/m) = ω_n^2なので、(1)式を変形すると

x'' + 2ζω_n x' + ω_n^2 x = 0 ・・・ (2)

ここから、標準形で表された(2)式を解いていきます。

まずx = e^(st)とおくと、x' = se^(st)、x'' = s^2e^(st)なので、式(2)は

(s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2)e^(st) = 0
∴ s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2 = 0

s_1, s_2 = -ζω_n ± ω_n√(ζ^2 - 1)

一般解は、

x = c_1 e^(s_1 t) + c_2 e^(s_2 t)

ちょっと中略。というか色々挫折。0<ζ<1の場合の結果はこんな感じ↓

x = e^(-ζω_d t)√(c_1^2 + c_2^2) cos(ω_d t - φ)

簡単そうで難しそう。
でも簡単な人には常識なのかな。