地面の目印 -エスワン-

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4次楕円曲線 その2

2018-07-16 18:39:42 | 数学

 その2と書いたが、以前書いた4次楕円曲線の記事とのつながりはない。また、内容のほとんでは、通常の3次の楕円曲線である。前置きはこれくらいにして、楕円曲線

   

 の有理点を考える。ここでmは平方因子を持たない自然数とする。mが正の有理数のときは、

    ここでm’は平方因子を持たない自然数。aは有理数。 

とすれば

   

となるので、mが正の有理数のときでも平方因子を持たない場合に帰着できる。

 

 Q上の楕円曲線の有理点全体は有限生成アーベル群(モーデル・ヴェイユ群)であることが知られている。今、この群の階数(ランク)を考える。Cocalcによるm<100の結果から

 

予想

   mが奇数のとき、m≡1または7(mod8)の時、ランク1

           m≡3まはた5(mod8)の時、ランク0

   mが偶数のときは、改めて 2m (mは平方因子を持たない奇数)と書き換えれば

           m≡5または7(mod8)の時、ランク1

           m≡1または3(mod8)の時、ランク0

を立ててみた。この予想の例外は、m<100では、m=21, 51, 85の時のみであり、その時のランクは2である。ちなみにm<100のモ―デル・ウェイユ群のランクと位数無限大の生成元は下表のとおりである(予想が成り立たない場合を黄色で網掛けした。)

上の予想は、mが奇素数のとき、m≡1まはた7(mod8)のときランク1、それ以外ではランク0となる。

反例があれば教えていただけれありがたいです。

    

ちなみに、yの2乗がxの2次式のとき、つまり

  

の場合は、(0, m)という有理数解があるので、有理数解をパラメータ表示できる。

 

xの4次式の場合、つまり

  

のときは、式を変形して

  

であり、

  

は、4次楕円曲線の記事の方法でWeierstrass標準形に変形すると

  

であり、この楕円曲線のランクは1であり、(-1,1/2)という位数無限大の生成元を有する。

 したがって、元の4次楕円曲線  さらには、 についても、mが何であっても無限個の有理数解を有する。