いきなりであるが、素数pをp≡±1 (mod8)として 
の位数∞の有理数解を考える。CoCalcを用いればすくなくともpが小さい時は、なんらかの解を出してくれる。
ところが、p=113とするとエラーとなってします。どうしたらよいか。
またまた、話は変わって、本ブログの4次楕円曲線 その2 で素数pがp≡±1 (mod8)のとき、次の楕円曲線C
の有理数解のなすアベール群のランクは1であるとの予想を述べた。また、p<100についてCoCalcで求めた位数∞の有理数解の表を示した。ここで
なる楕円曲線C'を考え、C,C'の有理数解のなす群をそれぞれC(Q)、C'(Q)とあらわすと
次式であらわされる写像 C(Q)→C'(Q) がある。
この関係式を用いてCの有理数解からC'の有理数解を求めることを考える。
p=113のとき、Cの位数無限大の有理数解を同じくCoCalcで求めると、どういうわけかエラーメッセージが出てしまうが、その中に、(x,y)=(-41,1020)が有理数解であることが示されている。この解を上記の関係式を用いて(T,U)に変換すると (15361/144,-865045/1728) が得られ、冒頭の問題が解決できた。尤も位数が∞であることを示す必要はあるが。