幾何学のモデル－変換の幾何学－

　前回述べた非ユークリッド幾何学ではユークリッド幾何学同様に、図形は合同変換できるものと考えます。つまり長さや角度を変えずに図形を移動できると考えます^(*1)。それに対して長さや角度が変化するような変換をほどこした場合にも変わらないような図形の性質を研究する幾何学があります。その主なものは、アフィン幾何学、射影幾何学、位相幾何学(トポロジー)で、それぞれアフィン変換、射影変換、位相変換をほどこしても変わらない性質を調べる幾何学です。このように変換(transformation)というものを基準にして幾何学を分類することはエルランゲン・プログラムでクライン(Felix C. Klein)により提唱されました。Ref-6(p148)によれば、これは「クラインがエルランゲン大学に就任するとき大学へ研究計画として提出した」もので、「以前はエルランゲン目録と訳していたが目録ではおかしいので、このクラインの論文が邦訳されたのを機会に原語のままエルランゲン・プログラムと呼ばれるようになった」とのことです。

　射影幾何学と位相幾何学についてはRef-7に簡単な解説があります。Ref-5には副題通り射影幾何学等に結構踏み込んだ説明があります。メビウスの帯と射影空間の関係などはおもしろいです。Ref-7には非ユークリッド幾何学への流れの数学的内容がポイントを押さえて解説されていて、前回紹介した様々なモデルの解説もなされています。Ref-6では非ユークリッド幾何学成立時の歴史がかなり詳しく述べられています。例えばボヤイ父子の悲劇とか。ただRef-6の第１部の非ユークリッド幾何学への導入議論は、はたして万人にわかりやすいものかどうかは疑問です。

　本記事の短い中では各幾何学については以下のようなほんのさわりしか紹介できませんから、詳しくは以上のような本などを参考にして下さい。

　図形変換の中で最も融通無碍なのが位相変換です。位相幾何学はいわゆるコーヒーカップとドーナツを同一視するという幾何学で、点集合としての図形の連結性だけが保存されます。ちなみに、ひもを使う知恵の輪やロープマジック、衣服から抜ける手品、などは位相幾何学的に考えると真相にせまれる場合が相当に多いです。ただし頭の中だけだと、位相変換してみるのと３次元図形を回転してみるのとどちらが難しいかは何とも言えませんが。

　射影変換は点光源で照らしたときの影の形への変換で、それらを全て同一視するのが射影幾何学です。位相変換では直線も曲線も互いに変換しますが、射影変換では直線は直線にしか変換しません。そして円錐曲線は全て同じ図形と見なされます。

　アフィン変換はRef-5によれば「射影変換のうちで無限遠直線を無限遠直線に変換するもの」と定義されます。アフィン変換では角度も長さも変化しますが、線分の内分点や外分点の比は保存されます。また平行線は変換後も平行線のままです。例えば方眼紙のような正方形の格子をアフィン変換すると平行四辺形の格子になります。

　ユークリッド幾何学との類似度から言えば、アフィン射影幾何学＞射影幾何学＞位相幾何学、となりますが、世の数学ファンに知られている程度や啓蒙書の数から言えば、この逆の順になるでしょう。

参考図書(1-4は01/01記事と同じ)
　 1) 中村幸四郎、他 『ユークリッド原論』共立出版; 縮刷版(1996/6/1),ISBN-10: 4320015134
　 2) エウクレイデス(著),斎藤憲(訳),三浦伸夫(訳)『エウクレイデス全集-第1巻(1)』東京大学出版会(2008/01), ISBN-10: 4130653016
　 3) 溝上武実 『初等幾何入門―公理から考える』日本評論社(2005/09), ISBN-10: 4535784396
　 4) D.ヒルベルト(David Hilbert),中村幸四郎(訳)『幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)』筑摩書房 (2005/12) ISBN-10: 4480089535
　 5) 西山享(Kyo Nishiyama)『よくわかる幾何学―複素平面・初等幾何学・射影幾何学をめぐって』丸善 (2004/02) ISBN-10: 4621073702
　 6) 寺阪英孝『非ユークリッド幾何の世界―幾何学の原点をさぐる(ブルーバックス312)』講談社 (1977/01) ISBN-10: 4061179128
　 7) 瀬山士郎『幾何物語―現代幾何学の不思議な世界 (ちくま学芸文庫)』筑摩書房(2007/12) ISBN-10: 4480091262

*1) 実は合同変換の定義はモデルにより様々である