割り算の答の単位謎問題に迫ってみる。
こどもたちは「先生の教え方が悪い」とは言わない。(言えない)
できないのは「自分は割り算が苦手だから」と思っている。
かけ算には順序がある。
割り算には2種類ある。
そんなことを植え付けられていては、苦手意識から脱することはできない。
連載も長くなったので、ここまでの話の要点をまとめてから本題に入りたい。
1.問題文の数値には「単位」が伴っている。これを無視して使ってはいけない。(大前提)
2.ただし、小学生に無理な「単位」があるので、何倍かするという意味の場合は無視してよいことにする。
(何個、何枚、何本、何人・・・どれでも関係ない)
3.計算とは数値だけの計算ではない。「単位」も計算され、答の「単位」に反映される。
これに異論のある人は、以下は読まなくて結構。
次に、先に例として使った例で単位を明示した
50円 × 6 = 300円 は当然のこととして
6 × 50円 この答が300本(円ではない)といい張る人は以下は読まなくて結構。
さて、ここからの話を読んでいる人は、
「こどもたちにとってどんな指導がよいのか真剣に考えている人」
と期待する。
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次のような場面を想像してみよう。
(1個ずつ紙に包んであるあめを取り出して)
先生「ここに12個のあめがあります。4人に分けるとひとり何個になりますか。」
(少し間があって)
先生「剛田くん、実際にやってみてくれないか。」
骨川「先生、だめだよジャイアンなんか、自分で食べちゃうから・・・」
(皆の笑い)
剛田「なにー。文句あっか、おれのものはおれのもの、お前のものも・・・・」
先生「二人とも、いいかげんにしなさーい。」
先生「じゃ、出木杉くん」
出木杉「はーい」
(間があり)
源「さすがだわ、出木杉さん・・・」
先生「もう一人、源さんにもやってもらおうか」
源「はーい、出木杉さんと一緒だけど、ちょうど4つきれいな袋があるからそれに入れて渡すわ」
骨川「しずかちゃんらしいよ、配ればいいってもんじゃないもんな。」
出木杉「やられたなー。」
野比「ぼくだって、ドラ焼きだったらお皿にのせてくばるよ」
骨川「はー、のび太のくせに生意気だぞー」
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つまり、「4人に分ける」の「人」は絶対ではない。「袋」でも「お皿」でもよい。
もっとわかりやすく、「4つの袋に入れてから4人に・・・」ということをこどもに理解してもらう。
この場合の4は「単位」をつけなくてよい、と指導する。
一方、4個ずつ分けるという場合は、お菓子4個が途中で画用紙「4枚」になったり「鉛筆4本」になってはいけないので、「4個」の「個」は無視してはいけないことになる。
次の2つのパターンしかない
割られる数値(ある単位) ÷ 割る数値(単位なし) = 答の数値(ある単位) ・・・ある単位がそのまま残る
割られる数値(ある単位) ÷ 割る数値(ある単位) = 答の数値(単位なし) ・・・約分の意味だが
これで、「単位」が間違いなくつけられる。念のため、もう一度問題文を確認してから答を書くように指導することは言うまでもない。
特に「単位なし」の答が出る場合は、上記整理項目の2に相当するのだから、問題文の確認が重要である。
長方形の面積の場合は、一例として
面積(ある単位×ある単位) ÷ よこの長さ(ある単位) = たての長さ(ある単位) ・・・ある単位が1つ残る(約分の意味)
これで、一通り矛盾なく(混乱させることなく)「単位」の計算が説明できる。
まあ、「単位がそのまま残る」「約分されてなくなるとか1つ残る」とかの表現は、あくまでこの場での説明用。
こどもたちにどう指導したらよいか、真剣に考えて工夫すべきは、そういうところであろう。
余談ではあるが、金曜夜7時の「ドラえもん」が土曜の夕方5時に移動するようだ。
こどもたちはどう思っているのだろう。
今回の連載を始めたのは、もちろん計算方法の指導に関することではありまが
それとともに、「単位」についてしっかり指導することが大切だと思うからです。
最初に、あなたの「単位」に関する認識を試してもらいます。
(問題) 横3m、たて80cmの花だんの面積を求めなさい。
(解答例) 3 × 80 = 240 答 240センチ平方メートル
この解答例をみて、あなたはどう思いますか。
「間違え」
と思ったあなたは、「単位についての認識が曖昧」と言えます。
さて、「間違え」と思ったあなたは憤慨しているかもしれませんが
「そもそも、単位が異なる2つの数値をかけ算しているから間違え」と思ったら
そこから出直しです。
単位は統一されています。
えー、という声が聞こえてきそうですが、統一されているのです。
「メートルとセンチでは違う」と言いたいですか。
それが違っています。
「メートルとセンチメートル」です。
もうお分かりでしょう。
どちらも単位は「メートル」です。
センチは「接頭語」あるいは「接頭辞」と呼ばれるもので単位とは関係なく、1/100を表しているだけです。
240センチ平方メートルは 240 × 1/100 × ㎡ = 2.4㎡(平方メートル)
といことになります。センチ平方メートルという言い方が一般的に通用するかどうかは別ですが。
つまり、一般的には最初にセンチを計算してしまい
3 × 0.8 = 2.4
としているにすぎません。
問題なのは、これによって「単位が統一された」と指導することです。
「メートル」と「センチ」という単位があると誤解してしまうのです。
つまり「接頭語」あるいは「接頭辞」と単位が明確に区別できていないと正しい計算ができません。
mmもよく出てきますが、「ミリ」ではありません。「ミリメートル」で単位としてはあくまで「メートル」です。
「単位」は基本的なものがいくつか定義されていて、計算の結果いろいろな単位が組み立てられます。
文字面の数値だけに目を奪われて計算して、単位に注意しないと何を求めているかわからなくなります。
かけ算の順序にこだわっていては、「単位」が身につきません。
ましてや、わり算で出てくる答の「単位」はこどもたちにとっては謎でしかありません。
余談ですが
例1. 私の体重は50キロです。
例2. 彼の身長は180センチ以上よ。
例3. 高速道路を時速120キロ以上のスピードで走った。
意味は通じますが、キロやセンチが単位だと思ってこのような表現をするのは日本人だけです。
外国人は決してこのような表現はしません。
CMですから、台本に沿って演技しているので分かりませんが、バイク王CMの「大男編」を
ご覧になっことがあるでしょうか。長身の外国人俳優が自分の身長について
「196センチメートル」と言っています。妙に納得してしまうのは小生だけでしょうか。
かけ算順序絶対信仰から生まれる摩訶不思議な指導がある。
何の冗談かと、もはや笑うしかない。
それは、「等分除」と「包含除」という言葉遊び。
「等分除」と「包含除」と言っても、知らない方が多いはずである。
次のような指導を行うようである。
12 ÷ 4
この式には2つの意味があるという。
12個のお菓子(○で表すとする)
[○○○] [○○○] [○○○] [○○○] → 4等分したとき例えば一人が受け取る個数3を求めている
(○○○○) (○○○○) (○○○○) → 4個ずつ器に入れたときの例えばお皿の枚数3を求めている
これを2つの意味があると言うのだろうか。
自分たちの都合の良い数字を並べ国民を欺くとこかの国の官僚のようである。
こんなことを指導してこどもたちを混乱させる必要はさらさらない。
なぜなら、この話は12という数値を
3と4という2つの数値をかけ算した結果
を前提としているからである。(2と6でも同じ)
つまり、割り算の応用問題(文章問題)を作成する場合、
かけ算のもとになった、2つの数値のうちどちらを与えるかによって
2つのパターンができることは当たり前である。
従って、余計なことは一切言うことはない。
次のように指導すればよい。
「わり算の応用問題は2つのパターンがあるからね、よーく問題を読んで
何を求めているか確認をして答の単位を間違えないようにしてね。」
□ × 4 = 12
4 × □ = 12
どちらの□を求めているかなどを考えさて、こどもたちを混乱させる意味はない。
もう一度確認しておく
12 ÷ 4
小生にも、2つの意味に見えてきた。
(1) 面積12平方センチメートルの長方形のたての長さが分かっていて、よこの長さを求める問題。
(2) 面積12平方センチメートルの長方形のよこの長さが分かっていて、たての長さを求める問題。
これを2つの意味というなら、最初に述べた通り笑うしかないでしょう。
前回のポイントを整理しておく。
1.問題文に出てくる数値は単なる数値ではなく、必ず単位を伴う。
その単位を無視して勝手に使ってはいけない。
2.小学生に(円/本)の単位は無理なので、たし算を繰り返す回数の代わりとして使う場合は
単なる数値(何倍)として使ってよい。6本でも8個でも9枚でも関係ない。
このことを踏まえ
50 × 6 = 300円
6 × 50 = 300本
と指導されることによる弊害を考えてみよう。
この指導によって、こどもたちは「最初に書かれた数値に意味(単位)がある」と理解しているはずである。
では、長方形の面積を計算する問題を考えてみよう。
(問題)たて4㎝、よこ6㎝の長方形の面積はいくらか。
当然のことながら、面積の出し方は (たての長さ)×(よこの長さ) または(よこの長さ)×(たての長さ)
と指導されるはずである。
(解答例1) 4 × 6 = 24㎝
(解答例2) 6 × 4 = 24㎝
自信をもってこどもたちは答えるであろう。
50 × 6 = 300円
6 × 50 = 300本
と指導してきた教員は、この面積計算が間違っていることをどう説明しこどもたちを納得させるのだろう。
お得意の、頭ごなしに面積の単位は平方センチメートル、書き方は㎠であると丸暗記させるのだろうか。
いずれにしても、誤魔化すしかなくなる。
では
50 × 6 = 300円
6 × 50 = 300円
どちらでもよいと指導できる教員ならどうでしょうか。
この場合の6は6本ではなく、50円を6回たし算する代わりの6なのだから
単なる6倍の6で単位はない。
ということをこどもたちに理解させることができる。(6が6本を表してはいないことを理解させられる)
なので、次のような問題と根本的に違うことを明確に説明できる。
(問題例)4㎝のひもが6本あります。全体(つなげた場合の合計)の長さはいくらになりますか。
(解答例1) 4(㎝) × 6(単位なし) = 24㎝
(解答例2) 6(単位なし) × (4㎝) = 24㎝
( )の中は見えないけれど、このような計算をしていることを説明すればよい。
面積の問題に戻ると、この場合は「たし算の代わりになる数値はない」ことを説明すればよい。
たての長さ × よこの長さ (または逆)
という「かけ算しか方法がない」のである。
つまり単位を無視してはいけないことを説明する。
だから( )の中は目には見えないけれど
4(㎝) × 6(㎝) という計算、または
6(㎝) × 4(㎝) という計算をしていることになる。
ということをこどもたちに理解してもらえばよい。
このとき、面積の単位が㎝ではない(㎝ではおかしい)ことが、こどもたちにも容易に想像がつくはずである。
この後、面積の単位の書き方や読み方をどうするかは教員の工夫次第。
数値のもつ意味を正しく理解させることなく、「言葉遊び」による計算順序の強制など
こどもたちの思考力向上に全く役立たないことを理解していただけたと思う。
前回示した、2つの式
50円 × 6 = 300円 (教員の解答例)
6 × 50円 = 300円 (教員と同じ意味で、児童が書き方を変えた解答例)
最初の式は、教員の式だが2つ目の式は、
「先生の式が正しいのなら、こうしても(こう考えても)正解であるはず」
というこどもの声を小生が代弁したものと思っていだきたい。
さて、この式(教員の解答例)が成り立つのは、前回の説明通り50円を6回たし算
する代わりに、6倍するための6であるという暗黙の了解がある場合のみである。
しかし、こどもたちにはそんなことは伝わっておらず、了解していない。
しかも、実際の計算式には50円の円は書かない(見えない)ので
素直に、この場合の6は問題文の6本であると認めざるを得ない。
ごともたちの声を代弁すると
「6 × 50円 としてもいいじゃん、なんでこれだと6本になるの?」
「それなら先生の式だって、50円 × 6本 じゃないか。」
その通り!
50×6=300
も
6×50=300
も
50(円)×6(本)=300(円本)
6(本)×50(円)=300(本円) ・・・もし50音順に統一するとすれば(円本)
で、とちらも300円にはならないのだ。従ってどちらも間違えというのが前回予告の結論。
では、どうしたら正解になるのだろう。
ここからの話は小学生には無理である。しかし、少なくとも教員はそのことを理解したうえで
こどもたちに分かりやすくどう説明したらよいか工夫するのが腕の見せ所である。
式の順番を覚えさせることが自分の役目だと思っているとしたら勘違いも甚だしい。
そうしないと、次の段階で必ず行き詰まる。
その話は次回とするが、まずは今回の結論を。
1本50円とは、単なる50円ではない。暗黙のうちに、50円/本という単位を伴う。
時速(1時間につき、1時間当たり)50kmが、50km/hであるのと同じである。
3時間で進む距離の計算で
3 × 50 = 150 時間(h) ということにはならない。
3(h) × 50(km/h) = 150(km) である。
順序の問題ではない。数値は数値として、単位は単位として別々に計算されるのである。
従って、
50(円/本) × 6(本) = 300(円)
6(本) × 50(円/本) = 300(円)
となり、どちらも300(円)という答えが出る。
これが本来の正解である。
しかし、この話は小学生には無理なので、前回述べた通り大切なのは
たし算を6回する代わりの6なのだから、6本を掛けるのではなく
「単なる6を掛ける(6倍すればよい)こと」だけ理解させればよいのだ。
順番は推奨程度にしておくべきである。不正解はとんでもない話である。
こどもが、6を掛ける(6倍する)という意味で、6を使っていることさえ理解していれば
よいのであり、式の順番ではなく、そのような考え方を指導すべきである。
そうすれば、商品の単価がいくらであっても、またお菓子7個であろうと、画用紙8枚であろうと
関係ないことにこどもは気づく。
今回の問題文も、教員が説明するのに都合のよいように単価、個数(数量)の順で書かれているだけで
問題文のパターンはいくらでも考えられる。
例えば
「普通の鉛筆と色鉛筆を4本ずつ買った。普通の鉛筆は1本60円で、色鉛筆は普通の鉛筆より15円高かった。
代金は全部でいくらになるか。」
「かける数」と「かけられる数」なとどいう言葉遊びはこどもの思考を停止させるだけだ。
かけ算を使う場面は、今回の問題だけではなくたくさんあるのだから。
次回は
50 × 6 = 300円
6 × 50 = 300本
と指導されたこどもたちが、次の段階で混乱する場面について考えてみる。
この混乱は、間違った指導による弊害とも言える問題である。
この問題を指導するに当たり最も大切なことは
計算方法として、50円+50円+50円+50円+50円+50円=300円
で可能ではあるけれど、
「この方法では、本数が増えてきたら大変であることに気付かせ
たし算ではなく掛け算を使えば簡単になることを理解させる」
ことであるはず。
従って、6を掛ける(6倍する)ことが大切なのであって
50 × 6 なのか 6 × 50 なのかという順番の問題ではないというのが
本質的なところである。
確かに、問題文の日本語の流れを自然な形で表現すれば
50 × 6
なのかもしれないが、その書き方を強制するために順番が逆だと不正解と
するの乱暴である。少なくとも、指導の在り方として
「先生は、こちらの書き方をすすめるけれど、逆に書いても間違いではありません。」
と言うべきである。
指導の過程をしっかり理解させるよう授業を進めれば
6本+6本+6本+・・・・・・・(以下略)=300本
という考え方で(そのような意味で)6 × 50 の式を書く子供はいないはずである。
6本+6本+6本+・・・・・・・(以下略)=300本
と勝手に解釈しているのは、教員だけである。ちびまる子ちゃんのアニメではないが
「それはあんたの勝手な思い込みである。」
と突っ込みを入れたくなるところである。
今回は、ここまでにするが次回は、もっと根源的な問題として
50円 × 6 = 300円 (教員の解答例)
6 × 50円 = 300円 (教員と同じ意味で、児童が書き方を変えた解答例)
このどちらも、間違えだということを指摘したい。
福岡県の小学校で、筆算の横線を手書きにしたためやり直しをさせられた、とう記事があった。
意味不明だが、小学校にはこの他にも理解しがたい算数の指導がある。
それは、例えば次のような問題。
(問題)1本50円の鉛筆を6本買うと、代金はいくらになるか。
解答例1 50×6=300 答300円
解答例2 6×50=300 答300円
同じ300円という答えだが、小学校では解答例2は×(不正解)として扱われる。
多くの人が経験している(何となく記憶している)のではないだろうか。
数学の専門家(小学校以外の数学教員、大学教授等)に聞いてみると、口をそろえて
「どちらでもいいのではないか」
とう意見である。
小生もどちらでもよいという意見である。理由は次回以降に述べるが、その前に
小学校の指導では、
「解答例2は6本に50を掛けているので、300本なので不正解です」
という理屈を言います。
この理屈が間違っていることを述べたいと思います。
反論がある方は、遠慮なくどうぞ。
折しも、9月1日は防災の日であった。各自治体では大規模地震を想定した訓練をしたはずである。
当然ながら、停電被害も想定内であったはずである。
しかし、今回の停電について東電任せで何とかなると甘い判断をしていたのは各自治体なのではないか。
積極的に被害の確認に動いたとは到底思えない。
にも関わらず、千葉市長などは「東電の楽観的な見通しは住民のためにならない」とのコメントを出した。
「市はその間何をしたのか」を問いたい。
こんなコメントを出す前に、市としてできる(実施ている)支援策を示す方がよほど住民のためになる。
首都圏で大規模地震発生が迫っている現在、自治体の対応が当てにならないことがはっきりした。
生き残るための自己防衛策を最大限考えないといけない。
前回説明した設定ファイルについて、テーブルデータとして保存したらどうかという意見がありました。
無論、それも可能ですが今回の開発趣旨がデータベース以外の利用方法を考えているので避けたいと思います。
それと、キーワード設定だけではなく、実際の運用に必要な正解画像ファイルやユーザー定義画像を保存するパスなどを
指定する必要もあります。(開発段階では、全てCドライブ直下にあることを前提としています。)
ユーザーが実際に運用するパス設定も併せて1つのファイルにまとめようと思います。
先に公開したToidasuシステムについて、英語の先生から指摘がありました。
「具体的な不具合はまだ出ていないが、問題文の内容によっては、asやaeがたまたま連続していると
正しく動作しないのではないか。」
ご指摘の通りだと思われます。やはり、別のキーワードにした方がよいでしょう。
とりあえず、!sと!eとでもしておくことにしました。
最終的には、設定ファイルを用意してキーワードを自由に変更できるようにしたいと思います。
更新版のリリースは少しお時間をいただきたいと思います。
関連サイトは以下からご覧ください。
https://have-stone.iobb.net/wordpress/?p=351
