（１）○/84＝1/□となる整数の組（○、□）は（1，84）と（84，1）を含めて
12組ある。残り10組をすべて書きなさい。
（２）2つの整数ア、イの最小公倍数は84であり、1／ア+1／イ＝11/84となる。
整数ア、イを答えなさい。ただし、アはイより小さいものとする。
（３）４つの整数ウ、エ、オ、カの最小公倍数は84であり、１／ゥ+１／エ＝1/オ＋1/カとなる。
またウ、エは3の倍数で、オとカは3の倍数ではない。整数ウ、エ、オ、カの組を２組答えなさい。
ただし、ウはエより小さく、オはカよりも小さいものとする。
（麻布中） 標準
受験数学研究会
１番目の数を1、２番目の数も1とし、３番目の数は１番目と２番目の数を足した数を
３で割った余り2とします。４番目以降も３番目の数の作り方と同様にして、直前の
2つをたした数を3で割った余りとする。ただし、3で割り切れたときの余りは0とする。
（１）2011番目の数を答えよ。
（２）1番目からn番目の数を順にすべて足す。その和が初めて111105以上となるのは
nがいくつのときか答えよ。
(駒場東邦中） 標準
受験数学研究会
定数kはk>1を満たすとする。xy平面上の点A(1,0)を通りx軸に垂直な第1象限
に含まれる部分を、２点X,YがAY=kAXを満たしながら動いている。
原点O(0,0)を中心とする半径1の円と線分OX,OYが交わる点をそれぞれP,Q
とするとき、三角形OPQの面積の最大値をKを用いて表せ。
（東工大）
受験数学研究会
ゴンドラ数が６４台の観覧車があります。1周するのに２０分かかる。乗り降りは
最も低い位置でおこないます。ただし、ゴンドラは等間隔にあり、1周したら乗客は必ず
交代します。朝うごかしはじめてから、その日最後の組が乗るまで、空のゴンドラはないものとする。
（１）90番目は、何組目といれかわるか。
（２）90番目が最も高い位置に着くのは、観覧車をうごかしはじめてから、何分何秒後か。
（３）観覧車は、土・日・祝日は午前9時、平日は午前10時30分から動かし、午後5時48分に止まった時
乗客は全員降りています。
[１] 土・日・祝日と平日ではそれぞれ何組乗ることができるか。
[2] 本日２月１日（土）の午前９時に乗り始めた組から２万組目となるのは何月何日の何組目か。
（桜蔭中） やや難
受験数学研究会
xy平面上の放物線y=xxをCとする。
（１）C上の点（a,aa)におけるCの法線の方程式を求めよ。ただし、曲線上の点Aに
おける法線とは、点Aを通り、その曲線のAにおける接線と垂直である直線とする。
（２）点(1,2)を通るCの法線の数を求めよ。
（３）点（ｔ，ｔ+1/2）を通るCの法線の数が2となるためのtに対する条件を求めよ。
（早稲田・理系）
受験数学研究会
1以上の2つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を
計算することを考える。例えば、18と12の最大公約数は6なので、18/6+12/6＝3+2＝5
となる。このことを[18,12]=5と表す。
（１）[ア、イ]=8となるような整数ア、イで、ア、イの和が16になるものを4つ答えなさい。
（２）[12,ウ]=8を満たす整数ウを2つ答えなさい。
（３）[30,エ]=9を満たす整数エをすべて答えなさい。
（麻布中） やや難
受験数学研究会
四面体ABCDの3辺AB,BC,CD上に、それぞれ、頂点とは異なる点P,Q,R
をとり、三角形PQRの重心をG,三角形BCDの重心をHとする。3点A,G,H
が同一直線上にあるとき
2/3＜AG/AH<1
であることを示せ。
（大阪府立大・改題）
受験数学研究会
あるお店でチーズケーキとプリンを買います。どちらも少なくとも1個は買うこと
にします。チーズケーキは1個300円、プリンは1個120円です。値段は消費税を
含んでいます。
（１）チーズケーキとプリンを合わせて18個買い、代金が3500円以上4500円以下
になるようにします。考えられる個数の組み合わせをすべて答えなさい。
（２）セールの期間には、チーズケーキは10個を超えると、超えた分はもとの値段の
5％引きになります。セール期間中に買い物をし、その代金がちょうど9000円に
なる場合の個数の組み合わせをすべて求めなさい。
（桜蔭中） 標準
受験数学研究会
xy平面上で、ｙ＝ｘのグラフとｙ＝｜3/4ｘx-3|-2のグラフによって囲まれる
図形の面積を求めよ。
（京大・理系） 難
受験数学研究会
三角形ABCはABの長さとACの長さが等しい二等辺三角形です。また、AHとBCは
垂直で、ADの長さは4ｃｍ、DEの長さは3ｃｍ、EBの長さは2ｃｍ、AHの長さは8ｃｍです。
このとき、三角形AFCの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。また、FGの
長さは何ｃｍですか。
（灘中改） やや難
受験数学研究会
空間内の4点 O(0.0.0）A（0.2.3）B（1.0.3）C（1.2.0）を考える。
（１）4点O,A,B,Cを通る球面の中心Dの座標を求めよ。
（２）（１）において、3点A,B,Cを通る平面に点Dから垂線を引き、交点を
Fとする。線分DFの長さを求めよ。
（３）（１）において、四面体ABCDの体積を求めよ。
（九州大・理系）
受験数学研究会
A君、B君、C君の3人が池の周りの道を1周します。3人とも同じ場所から同時に
出発し、A君は毎分80ｍ，B君は毎分60ｍで同じ向きに歩き、C君だけ反対向きに
一定の速さで歩きました。C君は出発してから20分後にまずA君とすれ違い、それから
さらに4分後にB君とすれ違いました。
（１）C君の歩く速さは、毎分何ｍですか。
（２）池のまわりの道は、1周何ｍですか。
（浅野中） 難易度 標準
受験数学研究会
濃度がそれぞれ3％。5％、8％の食塩水がある。これらの食塩水を2種類以上
混ぜて。6％の食塩水300ｇを作る。ただし、初めの3種類の食塩水は6％の食塩水
を作るには十分な量があるものとする。
（１） この操作に必要な8％の食塩水の量は何以上何以下になるか。
（２） 濃度がそれぞれ5％と8％の食塩水を同じ量混ぜるとき、何ｇずつ混ぜることに
なるか。
（海城中）やや難
受験数学研究会
製品Aと製品Bがあり、個数の比は8：7です。また、それぞれの不良品の個数の
比は5：4で、不良品でないものの個数の比は9：8です。
（１）製品Aについて、不良品と不良品でないものの個数の比を求めなさい。
（２）製品Aの個数が100個以上150個以下であるとき、製品Bの不良品の個数を
求めなさい。
(暁星中） やや難
受験数学研究会
xy平面上で、ｙ＝ｘのグラフとy=|3/4x2-3｜ー2のグラフによって
囲まれる図形の面積を求めよ。
（京大・理系）
受験数学研究会
