a,bはa>b>0を満たす整数とし、xとｙの２次方程式
xx+ax+b=0,yy+by+a=0
がそれぞれ整数解をもつとする。
（１）a=bとするとき、条件を満たす整数aの値をすべて求めよ。
（２）a>bとするとき、条件を満たす整数の組（a,b)をすべて求めよ。
（名古屋大・理系） 難
受験数学研究会
水槽に水が入っている。この水槽に毎分24Lずつ水を入れながら、同じ太さの排水管を
何本か使って排水します。排水管を２本使用したときはは４９分３０秒で水がなくなる。
排水管を３本使用したときは１１分で水がなくなる。排水管１本で１分間に排水する
水の量は何Lですか。
（早稲田中） 標準
受験数学研究会
ランニングコースがある。A地点とD地点の間の道は平らで長さは200ｍ、B地点とC地点の
間の道も平らで長さは100ｍ、A地点からB地点へ向かう道は上り坂で長さは120ｍ、D地点から
C地点に向かう道も上り坂で長さは180ｍです。
ゆう君はA地点を、まさひろ君はD地点を同時に出発して、ゆう君はA-B-C-D-A-B・・・の向きに
まさひろ君はD-C-B-A-D-C・・・の向きに走ります。２人とも平らな道を毎分100ｍの速さで走り
ます。ゆう君はA地点からB地点までの上り坂を毎分84ｍで、C地点からD地点までの下り坂を毎分105ｍ
で走り、まさひろ君はD地点からC地点までの上り坂を毎分90ｍで、B地点からA地点までの下り坂を
毎分126ｍで走ります。
（１）ゆう君、まさひろ君がこのコースを１週するのにかかる時間はそれぞれ何分か。
（２）ゆう君、まさひろ君はB地点とC地点の間ではじめてすれ違う。その地点はB地点から何ｍか。
（３）ゆう君、まさひろ君がB地点とC地点との間で次にすれ違うのは、（２）で求めた場所からどちらに
何ｍずれた場所ですか。
（４）ゆう君、まさひろ君がはじめてA地点とB地点の間ですれ違うのは、走りはじめてから何回目
にすれ違うときか。またその地点はB地点から何ｍの場所ですか。
（開成中） やや難
受験数学研究会
（１）○/84＝1/□となる整数の組（○、□）は（1，84）と（84，1）を含めて
12組ある。残り10組をすべて書きなさい。
（２）2つの整数ア、イの最小公倍数は84であり、1／ア+1／イ＝11/84となる。
整数ア、イを答えなさい。ただし、アはイより小さいものとする。
（３）４つの整数ウ、エ、オ、カの最小公倍数は84であり、１／ゥ+１／エ＝1/オ＋1/カとなる。
またウ、エは3の倍数で、オとカは3の倍数ではない。整数ウ、エ、オ、カの組を２組答えなさい。
ただし、ウはエより小さく、オはカよりも小さいものとする。
（麻布中） 標準
受験数学研究会
１番目の数を1、２番目の数も1とし、３番目の数は１番目と２番目の数を足した数を
３で割った余り2とします。４番目以降も３番目の数の作り方と同様にして、直前の
2つをたした数を3で割った余りとする。ただし、3で割り切れたときの余りは0とする。
（１）2011番目の数を答えよ。
（２）1番目からn番目の数を順にすべて足す。その和が初めて111105以上となるのは
nがいくつのときか答えよ。
(駒場東邦中） 標準
受験数学研究会
定数kはk>1を満たすとする。xy平面上の点A(1,0)を通りx軸に垂直な第1象限
に含まれる部分を、２点X,YがAY=kAXを満たしながら動いている。
原点O(0,0)を中心とする半径1の円と線分OX,OYが交わる点をそれぞれP,Q
とするとき、三角形OPQの面積の最大値をKを用いて表せ。
（東工大）
受験数学研究会
ゴンドラ数が６４台の観覧車があります。1周するのに２０分かかる。乗り降りは
最も低い位置でおこないます。ただし、ゴンドラは等間隔にあり、1周したら乗客は必ず
交代します。朝うごかしはじめてから、その日最後の組が乗るまで、空のゴンドラはないものとする。
（１）90番目は、何組目といれかわるか。
（２）90番目が最も高い位置に着くのは、観覧車をうごかしはじめてから、何分何秒後か。
（３）観覧車は、土・日・祝日は午前9時、平日は午前10時30分から動かし、午後5時48分に止まった時
乗客は全員降りています。
[１] 土・日・祝日と平日ではそれぞれ何組乗ることができるか。
[2] 本日２月１日（土）の午前９時に乗り始めた組から２万組目となるのは何月何日の何組目か。
（桜蔭中） やや難
受験数学研究会
Owl City - Tokyo (Official Visualizer) ft. SEKAI NO OWARI
xy平面上の放物線y=xxをCとする。
（１）C上の点（a,aa)におけるCの法線の方程式を求めよ。ただし、曲線上の点Aに
おける法線とは、点Aを通り、その曲線のAにおける接線と垂直である直線とする。
（２）点(1,2)を通るCの法線の数を求めよ。
（３）点（ｔ，ｔ+1/2）を通るCの法線の数が2となるためのtに対する条件を求めよ。
（早稲田・理系）
受験数学研究会
1以上の2つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を
計算することを考える。例えば、18と12の最大公約数は6なので、18/6+12/6＝3+2＝5
となる。このことを[18,12]=5と表す。
（１）[ア、イ]=8となるような整数ア、イで、ア、イの和が16になるものを4つ答えなさい。
（２）[12,ウ]=8を満たす整数ウを2つ答えなさい。
（３）[30,エ]=9を満たす整数エをすべて答えなさい。
（麻布中） やや難
受験数学研究会
四面体ABCDの3辺AB,BC,CD上に、それぞれ、頂点とは異なる点P,Q,R
をとり、三角形PQRの重心をG,三角形BCDの重心をHとする。3点A,G,H
が同一直線上にあるとき
2/3＜AG/AH<1
であることを示せ。
（大阪府立大・改題）
受験数学研究会
あるお店でチーズケーキとプリンを買います。どちらも少なくとも1個は買うこと
にします。チーズケーキは1個300円、プリンは1個120円です。値段は消費税を
含んでいます。
（１）チーズケーキとプリンを合わせて18個買い、代金が3500円以上4500円以下
になるようにします。考えられる個数の組み合わせをすべて答えなさい。
（２）セールの期間には、チーズケーキは10個を超えると、超えた分はもとの値段の
5％引きになります。セール期間中に買い物をし、その代金がちょうど9000円に
なる場合の個数の組み合わせをすべて求めなさい。
（桜蔭中） 標準
受験数学研究会
GABRIELLE APLIN／ガブリエル・アプリン - Panic Cord（字幕付）