メモ8 （ある楕円曲線の整数解）

　q≠0,1の非負整数 

の位数∞の整数解について考える。結果を先に記すと以下のとおりである。 

 

(命題)　楕円曲線E： 　 q≠0,1の非負整数　の位数∞の整数解はqが以下のときに限り存在する。

　　　 　l,k: 自然数、n:0でない整数

このとき、は位数∞の整数解。また、　は位数2の整数解であり、

 　　　

(説明) 

(x,y)が楕円曲線Eの整数点とする。　(ｌは自然数、nの素因数の指数は1)　と平方数と非平方の積に分けると、　

　　　　は　　　(kは自然数)

でなければならない。したがって、

　 　　

より

　　　　

となる。nを-nとすれば求める式となる。この時

　　  　

よって、

　　　　

は、Eの整数点となる(位数∞であることは示す必要がある)。

 

 次に　PとQ= (1,0)を結ぶ直線の方程式は

　　　　

であり、この直線とEの交点のうちP,Q以外の点は 　 　である。

したがって、P+Qはこの座標のy座標の符号を逆転させた点である。　　　　　　　　　　　　(説明終)

 

この命題より、Pが整数点のとき　P+Q　も整数点になるのはkがlの倍数になっている時に限る。

また、Pの整数倍は整数点にはなりそうもない。よって、異なる(l,k,n)に対しqの値が同じになれば楕円曲線Eのランクが2以上になる可能性が高い。

 

簡単のために以下l=1とする。この時、

　

である。k,nの値が小さい場合のqの値を計算してみると下表のとおりである。

k  　　 n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	3	9	19	33	51	73	99	129	163
3	7	16	31	52	79	112	151	196	247
4	13	25	45	73	109	153	205	265	333
5	21	36	61	96	141	196	261	336	421
6	31	49	79	121	175	241	319	409	511
7	43	64	99	148	211	288	379	484	603
8	57	81	121	177	249	337	441	561	697
9	73	100	145	208	289	388	505	640	793

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(赤字は、素数)

この表より、素数ではq=73,31,79　について異なる(l,k,n)の組よりその値が得られる。そこで、上の命題より整数点を求めてみると、

 

●　q=73：

(l,k,n) = (1,6,2) のとき　P1=(-1,12) が整数点。　P1+Q=(37,216)

     　= (1,1,9)　のとき　P2=(-8, 9) が整数点。　P2+Q=(9,8)

であり、P1+P2=(499/49, -5760/343), P1-P2=(19,-72) となる。

CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは2である。

 

●　q=31：

(l,k,n) = (1,3,3) のとき P1=(-2,9)が整数点。　P1+Q=(11，30)

　　　= (1,1,6) のとき　P2＝(-5,6)が整数点。　P2+Q＝(6，5)

であり、P1+P2=(9,-20), P1-P2=(33,-184)となる。

CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは2である。

 

●　q=79：

(l,k,n) = (1,5,3) のとき　P1=(-2,15)が整数点。　P1+Q=(27,130)

         = (1,3,6) のとき P1=(-5,18)が整数点。　P2+Q=(14,39)

であり、P1+P2=(9,4),P1-P2=(129,-1456)となる。

CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは2である。

 

なお、83 以外のq<100の素数で楕円曲線Eの有理点群のrankが2となるのはこの３つのみである。83については、Cocalcで計算結果が出なかった。

 

●　 q=421：

　(l,k,n)=(1,1,21), (1,5,12), (1,9,5), (2,7,4), (3,11,-3)　が条件を満たす。

　ここで が解ならば  も解、 が解ならば　 も解、なのでそのような解は除いた。他にも解があるかもしれない。

　CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは3である。

 

　qをうまく定め、多くの整数点を有するようにすれば、対応する楕円曲線Eのrankは大きくなる可能性があると思われる。

 

メモ7 (ある楕円曲線の有理数解 その２）

　メモ6で　p=113のとき、　の位数∞の有理数解について記した。これは、本ブログの4次楕円曲線　その2　で述べた予想

　　　(予想)

　　　素数pがp≡±1　(mod8)のとき、次の楕円曲線C

            

　　　の有理数解のなすアベール群のランクは1である。

 

に関連していることを示した。ここでは、ある条件で得られるp≡1(mod8)　の素数について、楕円曲線

 

　　　　　　　　(A)

 

の位数無限大の有理数解を求める方法を記す。

　楕円曲線(A)　は

　　

とも書ける。ここで、　と　　がともに有理数の平方になるようなTが求まれば楕円曲線（A) の有理解が求まることになる。そこでCocalcを用いてpが小さい場合に生成元及びその2倍を求めてみた。

 

 このように生成元も若しくはその2倍について、　及び　　がともに有理数の平方になることが期待される。そこで、正の有理数a,bを用いて

　

とおき、Tを消去すると

　

　 と の分母の最小公倍数を　δ　とすれば

　　　　ただし、

である。よって、この方程式の整数解　をR,E,δ　のうち　　を満たすものを求めれば楕円曲線（A) の有理点が求まることになる。

 

　上の表で　　及び　　が　ともに有理数の平方となる有理点についてR,E,δを求めδ, R+E, R-Eを記したのが下表である。なお、δ, R, Eはすべて自然数とする。

この表より　と書けることが期待される。そこで以下と仮定する。

そのとき、

      の自然数解　R,E,δ　について　　が平方数であれば

　は楕円曲線（A)の有理点である。

 

　まず、

RとEが互いに素な場合、の自然数解　R,E,δ　は自然数m,nを用いて

　

と書けることに注意する（RとEが素でない場合について、最後の(追記:2019.5.12)を参照)。

　　のとき、　　より

　　　　　

　　のときは、

　　　　　

である。したがって、R＋EおよびR-Eは平方数と平方数×2のペアであることがわかるが、上表を見ると p=41及び113,137以外は、平方数がpの2乗を因子を含むことが特徴的である。p=41及び113,137の場合も生成元の2倍を用いればR＋Eが平方数かつpの2乗の因子を含むことがわかる。そこで、以下の2つのケースを仮定して検討する (2x平方数の方がpの2乗の因子を含む場合は(追記：5.12)を参照)。

ケース1：R+Eが平方数でpの2乗の因子を含む

ケース2：R-Eが平方数でpの2乗の因子を含む

ケース1の場合：

 

なので、n=pn’ と分解される。したがって、pδ=2mnより、　よって

　 この条件はmとn'が平方数であれば満たされる。

    

より R-pδ　が平方数であるための条件を考える。まず,自然数　α,βにより

　

とあらわされる場合を考える。例えばn及びmが奇数の場合である。上表の場合はそうなっている。なお、この場合はnが偶数のとき、mも偶数となるので、mとnは互いに素ではなくなる。

m>nとすれば

　

したがって、mが平方数とすれば、自然数c,dにより

   

となる。このとき、

  がp×平方数となればすべての条件が満たされることになる。

m<nのときは

   

したがって、mが平方数とすれば、自然数c,dにより

   

となる。このとき、

　  がp×平方数となればすべての条件が満たされることになる。

 

以上より、ケース1の場合は、以下の(x,y)が有理点となる。

　 

ケース2の場合：

   

なので、n=pn’ と分解される。したがって、pδ=2mnより、よって

 　 この条件はm, n'が平方数であれば満たされる。

   

より R-pδ　が平方数であるためには,ケース1の場合と同様の考察により、自然数α,βにより

　  

とあらわされる。ケース2の場合は、ｍ＞ｎであるので、

　  

したがって、mが平方数とすれば、自然数c,dにより

     

となる。このとき、

　   がp×平方数となればすべての条件が満たされることになる。

以上より、ケース2の場合は、以下の(x,y)が有理点となる。

    

上表にあげたのはp=97を除き、すべてケース1の場合であった。

上の議論を振り返ると、ケース2はケース1でをーEに置き換えた場合に相当する。また、m>nとｍ<ｎの違いはβを-β、つまり、dを-dに置き換えた違いに他ならない。

したがって、cを自然数、dを整数としたときに、

    とおき、nがp×平方数の形になれば、以下の(x,y)が楕円曲線（A) の有理点となる。

    

次に

  

とあらわされる場合を考える。上に記した場合と同様議論を行うと

　 がp×平方数となればよい。このとき、以下の(x,y)が楕円曲線（A) の有理点となる。

    

　

　表1は、200以下のp≡1(8)の素数について、c,|d|が3000以下の時に、n'が自然数の平方になるケースを示したものである。なお、pに対応する(c,d)のペアは1つとは限らず、表はそのうちの一つのみ掲載している。あわせて上に示した式より有理点を具体的に求めた.

 

表2は、200以上1000以下のp≡1(8)の素数について、n'が自然数の平方になるケースを示したものである。なお、pに対応する(c,d)のペアは1つとは限らず、表はそのうちの一つのみ掲載している。

がp×平方数の形をしている場合は、である。

がp×平方数の形をしている場合も、である。

表からわかるように、1000以下の素数でもcまたは|d|はかなり大きな数となるようである。

このうち,857、977についてはCoCalcより求めた有理点より逆算した。また、929については、CoCalcでも求められなかった。

 

　結局、自然数c, 0ではない整数dに対し

　または　　がp×平方数の形をしていれば、楕円曲線　　は位数∞の有理点を持つことになる。

問題は、すべてのp≡1(8)の素数が、この条件を満たすかどうかである。

(2019.4.30 一部修正）

 

(追記：2019.5.3）

p=929のとき、CoCalcで　gens()　として楕円曲線（A) の有理点を求めるとうまくいかないが, 　これをgens(descent_second_limit=16)とすると解が求まった。limitのデフォルトは12 である。この解よりc,d,m,nを求め表2を補った。

 

(追記：2019.5.12)

・RとEが互いに素な場合、pで割りけるようである。その場合R/p, E/pをR,Eに置き換え同様の議論を行うと　　がpx平方数の場合に帰着する。

・2×平方数の方がpの2乗の因子を含む場合についても、詳細は省略するが、　　がpx平方数の場合に帰着する。

 

メモ6 (ある楕円曲線の有理数解)

　いきなりであるが、素数pをp≡±1　(mod8)として　　　の位数∞の有理数解を考える。CoCalcを用いればすくなくともpが小さい時は、なんらかの解を出してくれる。

ところが、p=113とするとエラーとなってします。どうしたらよいか。

 

　またまた、話は変わって、本ブログの4次楕円曲線　その2　で素数pがp≡±1　(mod8)のとき、次の楕円曲線C

　 　

の有理数解のなすアベール群のランクは1であるとの予想を述べた。また、p<100についてCoCalcで求めた位数∞の有理数解の表を示した。ここで

 　

なる楕円曲線C'を考え、C,C'の有理数解のなす群をそれぞれC(Q)、C'(Q)とあらわすと

次式であらわされる写像　C(Q)→C'(Q)　がある。

 　

　この関係式を用いてCの有理数解からC'の有理数解を求めることを考える。

　p=113のとき、Cの位数無限大の有理数解を同じくCoCalcで求めると、どういうわけかエラーメッセージが出てしまうが、その中に、(x,y)=(-41,1020)が有理数解であることが示されている。この解を上記の関係式を用いて(T,U)に変換すると　(15361/144,-865045/1728)　が得られ、冒頭の問題が解決できた。尤も位数が∞であることを示す必要はあるが。

メモ5 (楕円曲線のランクの計算例)

　の有理点についてSilvermanとTateによる”Rational Points of Elliptic Curve”(1994年第2版。　以下、[Sil]と記述する。)に説明があった(p97からのExample 4)。それによると、

 

A. rankは2以下

B. p≡7　または　11(mod 16)のとき　rank　0

C. p≡3, 5,13,15 (mode) のとき　rank　１と予想されている。

D. p≡1(mod　8)のとき　rank 0 または　2　と予想されている。

 

AとB(p≡7(mod 16))は演習問題(p105の3.8)になっている。AとBは以下のようにしてわかる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　先ず、[Sil]記載の関連事実を整理する。

 

①モ―デルの定理(P88)：

　Cを以下の方程式で与えられる整数係数3次非特異曲線とする。

　　

この時、C上の有理点のなす群C(Q)は有限生成アーベル群である。

 

②命題1　(P79)：

　CとC’を以下の式で与えられる整係数の楕円曲線とする。

　　　　　　　

ここで、   

T=(0,0)　とし、O, O’をアーベル群C, C'の零元とするとき

　(a)　以下で定義される準同型　Φ：C → C'　があり、その核は｛O,T}である。

 

 

 (b) 　(a)と同じプロセスをC'に施すと、Φ’：C'　→　C''　があり、C''は(x,y)→(x/4,y/8)によりCと同型である。したがって、以下で定義される準同型　ψ：C'　→　Cがある。

　

　また、　　は、2倍写像　　である。

                                                         

③命題2(P85, P91)：

　注：命題2と[Sil]に記されているわけではない。

C, C'は命題1と同じ楕円曲線、Γ=C(Q)、Γ’=C’(Q)とおき、rをΓのランク、

 

α：Γ　→　Q*/Q*2を

　α(O)=1　(mod　Q*2)

　α(T)＝b　(mod　Q*2)

　α(x,y)=x　　(mod　Q*2)

 

とし、α’:Γ’　→　Q*/Q*2も同様に定めるとき、以下が成り立つ。

 

　αは準同型である。また、=#α(Γ)・#α’(Γ’)/4　である。

 

④ランクの求め方（P93)

i.　かつy≠0　ならば　

  　ここで、はの約数　

と書ける。

ii.　したがって、方程式　ここで　　に解(M,e,N)、M≠0がある時、楕円曲線の有理点が見つかり、はαの値域に入ることになる。

 

 

以上の準備のもと、A.とB.を証明してみる。

今、　　　とする。

A.　rankは2以下 を示す。　Cについてb=pなので、　として1,-1,p,-pが考えられる。対応する方程式は

(i)　

(ii)　

(iii)　

(iv)　

 

である。(ii)と(iv)　にM≠０となる解はない。よって　(mod　Q*2)である。

C’ついて　b=-4pなので、　として±1、±2、±4、±p、±2p、±4pが考えられる。上と同様の考察により。考えるべき方程式は

(i)　

(ii)　

(iii)　

(iv)　

(v)　

(vi)　

(vii)　

(viii)　

(ix)　

(x)　

(xi)　

(xii)　

の12個である。よって、

(mod　Q*2)

である。ここで1と4、－1と―4、pと4p、-pと-4pはmod Q*2　で等しいので、　

(mod　Q*2)

である。

よって、③より、　=#α(Γ)・#α’(Γ’)/4≦２・8 / 4 =4　

したがって、r≦2　となる。

 

B. p≡7　または　11(mod 16)のとき　rank　0　を示す。

(i)　については　(M,e,N)=(1,0,1)　なる解がある。

(ii)　

　M偶数とするとNも偶数なので矛盾。したがって、Mは奇数。同様にNも奇数

　　　　e偶数とすると　　矛盾。

　　　　e奇数とすると　　矛盾。よって(ii)の解はない。

(iii)　　N偶数なので2N'とおく。M,eは奇数。

　　　より　　よって　p≡1または15(mod16)

(iv)　 N偶数なので2N'とおく。M,eは奇数

　　　よって、p≡1または３(mod16)

(vi)　　N,eは奇数　M偶数のとき　

　よってp≡1(mod8)　である。　

M奇数のとき　　よって、p≡5(mod8)である。

(vii)　　M,Nは奇数　e偶数のとき　　

よってp≡1(mod8)

e奇数のとき　よってp≡5(mod8）

(viii)　　M,Nは奇数　e偶数のとき　

よって、p≡7(mod8)

e奇数のとき　　p≡3(mod8)

(ix)　　　(iv)でM,eを入れ替えた式に相当する。よって、p≡1または３(mod16)

(x)　　　(iii)でM,eを入れ替えた式に相当する。よって、p≡1または15(mod16)

(xi)　　　(ii)でM,eを入れ替えた式に相当する。よって、(xi)の解はない。

 

以上より、p≡7　または　11(mod 16)のとき、(ii), (iii),(iv),(vi),(vii),(ix),(x)の解はない。

よって、 (mod　Q*2)

=#α(Γ)・#α’(Γ’)/4≦２・2 / 4 =1 より　r=0　となる。　

 

メモ4 (楕円曲線の加法公式）

楕円曲線にアーベル群の構造が入ることはよく知られており、加法の定め方も良く説明されているが、P=(x1,y1)とQ=(x2,y2)が楕円曲線上の点である時、P+Qの座標値をPとQの座標値から明示的に示す式は、演習問題としてよく出される。但し、具体的な式にはあまりお目にかかれないので、ここに書き留めておきたい。

 

　Weiestrass 標準形　

　　　　　

で考えると複雑になるりすぎると思われるので、a1=a3=0のケース、すなわち

　　　　

で考えることとする。

　楕円曲線上の原点でない2点をP=(x1,y1)とQ=(x2,y2)とする。

 

○　x1≠x2の場合

PとQを結ぶ直線の方程式は

　　　　

とあらわされる。この直線が楕円曲線と交わるもう一つの点をR=(x3,y3)とすると、P+Q=-R=(x3,-y3)　である。最初にx3を求める。

　　　　

より、x3の次数に沿って整理すると、

    　

ここで、b’、c'はx1,x2,y1,y2の有理式。根と係数の関係より、

　　　

また、y3については　　　

    　

である。したがって、

 　　

本当は、x3などは使わずもっと直接的に書きたかったが、見通しが悪くなるのでやめた。

 

○　x1=x2　の場合

P≠Qであれば、P+Qは原点。

P=Qのときは、Pで楕円曲線に対する接線を引き、楕円曲線と接線とのもう一つの交点をR=(x3,y3)とすると、P+Q=-Rである。楕円曲線の方程式を微分して

　　　

よって、接線の方程式は、

　　　　

楕円曲線と接線の交点は、

　　　

より、

　　　

ここで、b‘’、c‘’はx1,y1の有理式。根と係数の関係より、

　　　　

また、y3については　　　

      

よって、

 　　

である。最初に大見えを切った割には大した結果になりませんでした。悪しからず。