岩波応用数学講座

　岩波応用数学講座が発刊されたのは、１９９０年代の前半だったと思います。私が、工学部の数学系の学科の出身であったので、すぐに予約をした覚えがあります。そのシリーズの中で、最初に読んだのが、上野先生の写真の右の代数幾何

です。この本を補充してまとめられたのが、左の本です。代数幾何も少しはかじっておきたい気持ちから手に取ったのですが、結構応用的なことも書いてあって、興味が湧いてきた本でした。その後、上野先生とお話しする中で、この本のことをお話ししたら、誤植が多い本なんですよと言われましたが、以前にも旺文社の教科書で誤植が多かったことを書きましたが、誤植が多くても訂正しながら読んでいけばいいので、本の良し悪しとは基本的に関係ないと思っています。そんな岩波の応用数学講座ですが、その中で、どうしても忘れられない本があります。

５巻のうちの１分冊で「計算代数と計算幾何」です。おそらく名前から同じ分冊に収められてはいますが、全く別分野で、私が興味を持ったのが、「計算代数」です。今では、Computer Algebraと言われている分野です。当時、グレブナ基底に興味を持って、和書で、書かれているのはこの本だけしかない状況でした。この分冊の前半６０ページが「計算代数」ですが、とにかく内容の濃い記述で、練習問題も含めて最先端まで効率よくまとめられていて、著者の佐々木先生の凄さを初めて実感しました。この本がきっかけでもう少し本格的にグレブナ基底を勉強したいと思い、筑波大学の佐々木先生の研究室の門を叩くことになります。２年ほど研究室で勉強させていただき、最後に、先生のサインをこの本に書いていただきました。

当時佐々木研究室にいた大学院生たちもその後、神戸大学や、筑波大学等でこの分野の研究者として頑張っておられます。さらには、私の教え子が今、筑波で教員として物理の研究に従事していることも何かの縁を感じます。

　もう２０年ほど前のことになりますが、今でも、数学に興味を持っていられるのは、この２年間の経験があったからかもしれません。先生はマラソンが趣味で、学生ともサシで勝負されていて、フルマラソンで負けたら頭を丸めるという約束で陸上部の選手と一緒に走られたこともありました。頭を丸めたのは、選手の方でした。当時５０歳前後でしたが、２時間４０分前後で走られていました。そのマラソン体験も含めて先生からは、その姿勢というか、背中からいろいろな言葉とアドバイスをもらったような気がしています。その後、高校現場に戻って、間もない頃、京大の数理研の研究発表の帰りに、高校で講演をしていただいたことがありましたが、気さくで高校生にも分かりやすい話をしていただき、私の中では、恩師と呼べる先生です。そういう意味では、以前に書いた、「私の先生」に関してのブログの自分自身の先生はこの佐々木先生かもしれません。

　当時は先生の講義にも出席して、大学３年生の講義では、大学生と一緒に試験も受けたりしましたが、先生の試験は、１２０点満点の試験で、１００点を超えることもある試験で、そこにボーナス問題が入っていて、学生への叱咤激励とも言えるそんな試験でした。なんとか１００点越えをとって、先生に恥をかかせなくてホッとした記憶があります。

　また、先生の講義からその後の自分に最も影響を受けたのが、講義をするとき、チョーック１本で行うというスタイルです。先生は、大学のとき、物理学科で、有名な内山龍雄教授の講義を受けた際に、チョーク１本で講義をする内山龍雄教授に影響を受けたと言われていました。ゼミ等でもそうですが、本当に理解していれば、何も見ずに説明はできるので、その一つの指標として、チョーク１本で講義するというのは理解できます。私もその後、高校現場に戻って、チョーク１本で授業できるようになったのは、この経験の後でしたが、このことで、教員としての数学を学ぶことの姿勢を一段高められた気がしています。

　佐々木先生には、先生の退官の際の最終講義に行かせていただき、末席から先生の講義を懐かしく聞かせていただきました。先生も気が付かれていたようで、遠くから来てもらってる人もいると、講義中に言われ、恐縮した次第です。長い研究者生活の中で、当時の先生の専門の話を中心にスライドにまとめられて、それを拝見するだけでも筑波に来た価値があると思ったものです。そのスライドの枚数が１０８枚で、人間の煩悩の数ですという先生の締めの言葉でした。

大学の微積分の教科書から

　受験生を教えていると、高校と大学の接続という視点から、各大学で１年時にどういう教科書が使われているかを教え子から聞いたりして、大学の１年時の数学教育に関心を持ってきました。

　それらを聞くにつけて、各大学での取り組みや先生方の思いやその指導方法などを参考にして、それが必要な学生を高校時代や予備校で教えてきた自らの反省や課題をそこに見出すことも多くあります。

　私が大学生の頃にあった教科書を使われていたり、教科書を使わずに、自らの講義ノートを作りながらの講義であったり様々です。

　今から、数年前、現行の学習指導要領が改訂された際、ある私立大学の数学教育に携われている先生方と高校現場の数学物理の先生方の有志で、高大接続の数学教育に関して、その大学で意見交換をしたことがありました。その際、新学習指導要領から高校では行列を学ばなくなったことで、大学での線形代数の教育に関しても大きな問題だという認識で一致しました。もっと大学と高校現場での数学教育に関する情報交換があてもいいのではないかと、常に思っています。

　そんなことも含めて、高大接続という視点から大学の初年度の数学教育に興味を持ちながら、微積分等の教科書なども目を通すことが多いのですが、昨年、数研出版から以下のような本が出版されました。

数研出版が大学の数学の本を出版したのにまず驚きました。昔と違って、最近は学生に寄り添った、わかりやすく、試験対策も考慮したような、微積分の本が多く書店の棚には並べられてあり、私の学生時代にもこんな親切な本があればと、正直な気持ちを抱いていました。そんな自分でも、この数研出版の本には少なからず驚きました。高校までの参考書などを発刊する出版社が大学の数学書を発刊することはこれまでもあまりなかっように記憶しています。唯一、私が思い出せれるのが、以前にも書きましたが、「数学精義」の培風館くらいかと。培風館は主体は大学の数学書でして、例外的に「数学精義」という高校の数学の参考書を発刊したものの、今はその高校の参考書も絶版です。

上の写真の右側は、微積分の本で、東工大の加藤文元教授によるものですが、左はその演習書ということで、右の本の練習問題等の解答を集めたもので、高校の「チャート」のイメージとしては、左の演習書になります。右は本格的な微積分の教科書です。高校時代に多くの受験生が利用して、多くの高校では生徒に一括購入させている参考書（チャート）を意識した微積分の教科書という点で、ある意味画期的でもあり、現実的な対応を考えた本であると思います。特に左の演習書は数研出版の編集部が高校のチャートを意識して、解答を作ったり、レイアウトなども意識的に行っていて、加藤教授はあくまでも監修者という立場のようです。一方、右の本は、普通の大学の本格的な微積分の教科書ですが、高校生が使ってきたチャートを考慮してページのレイアウトなども工夫がされています。また、内容的にも決してレベルは低くなく、工夫が凝らされているように思います。

　特に一様連続や区分求積法など丁寧に書かれていて、読み手に親切な印象を受けます。発売以来、かなり売れているようで、版を重ねていて、最近の数学書のベストセラーではないでしょうか。

　著者の加藤文元氏は現在東工大の教授をされていますが、すごく教育的な視点からこの教科書を書かれているような印象を受けました。加藤先生の著書では最初に読んだのが、

です。当時まだ４０歳手前の新進気鋭の数学者が、この手の本を書くことが少なかったので、珍しいと思いつつも、その内容にも惹きつけられるものがあり、友人の同じ高校の数学教員も読んでいました。また、氏の本では、訳書で以下のような本もあります。

その後、以下のような新書を書かれていますが、他にも京大の数理解析研究所の望月教授のABC理論に関する解説書も書かれています。

教養的な数学の本や数学史に関する本は、昔は年配の数学者が書かれていたものですが、そのイメージを打ち破るような加藤先生の本は内容的にも書き方にも斬新さが伺えます。写真の右の本は、最初の「数学する精神」の増補版となっています。

　以前、上野先生からも伺ったことがありますが、数学史は普通は数学者が本格的にコミットすることは少なかったようですが、上野先生も少し江戸時代の数学史を調べていくうちに、それまで書かれていた和算のことで、杜撰なことが多くあることがわかってきたと言われていましたが、数学者も積極的に数学史や数学教育に積極的にコミットしていただくことで、数学教育の問題点もさらに浮き彫りになると考えられます。

　

　現状の高校数学では、「データの分析」が必須になっていますが、この内容は数学ではなく、「情報」に移管して、「行列」を再度高校数学に入れることなどなんとかならないかと思っているのは、私だけではないと思います。今一度、現場の数学者や高校の数学教員の意見を交換したりできる場がないかと今の数学の学習指導要領を見るにつけて、そして、それに依存した教科書の数学的な体系のなさに寂しさを覚える毎日です。

　

読み進まない本

　日頃、読んでいてもなかなか読み進まない本んがあります。最近の私では、この本です。

　

　鶴見俊輔の右の本です。昔から気になっていた哲学者ですが、その盟友小田実との共著で、小田実の文章も入っていますが、小田実亡き後に、小田が生きていたらという

想定で、鶴見が小田との対話を考えたりした内容ですが、なぜか読み進められない。

　小田実に関してはベ平連の創始者で、その活動は私の少し上の世代、団塊の世代に通づるものがあります。小田実は、予備校の代ゼミでも講義を行っていて、寮長もしていたとか。そんな経験を書いたのが、上記の左の本です。私が買ったのが高校教員になったばかりの頃の昭和５９年です。書いてあることも、わかるのですが、なぜか印象が薄い。どうしてなのか？優秀な人が上から目線で書くと読み手は引いてしまうのか、そんなことを考えてしまう自分が少し寂しいです。

　逆に、一気に読み進めて、実は、書店で立ち読みで全部読み切った本が１冊あります。それが、下の本です。

　東京に行った際に、いつものように神田神保町の三省堂に入って、何気なく新書コーナーで手に取った本です。第一印象が素直に書かれた本で、素朴な大学生が研究に打ち込んでいく過程をこんなに素直に書いてある本がお目にかかったことがないという気持ちで、読みながら、頑張れと言いたくなるそんな気持ちで一気に立ち読みで読んでしまった本ですが、読み終わって買った本としては初めてです。こんな気持ちにさせてくれた本というだけでなく、これから大学生になる高校生や大学生にも是非読んでほしい本です。」特に優秀ではないと劣等感を抱いている大学生などに何か光を与えてくれる本です。自分に振り返って、今悩んでいる社会人でも、自分を変えるきっかけになるヒントがこの実話にはあるかもしれません。

　この作者の指導教授が、実は以前紹介した、物理学者の佐藤文隆の

にも登場する杉本太一郎教授です。京大の工学部に電子工学科ができた時の一期生らしいです。この時の電子工学科の入試の最低点は医学部を上回ったとか。

　受験も世相を反映すると言われますが、学部ごとの難易度に関しては、時代とともに変わるものです。長く受験に携わってきて、ふと自分が話す内容に若い先生との認識のズレを感じたりするのも、学部への印象度などが挙げられます。私の時代で言えば、京大は理系は９００点満点で、問題も共通なので、学部ごと、また工学部と農学部では学科ごとに最低点が公開されていて、単純に難易度がわかりました。今ほど薬学部も難しくなかったし、農学部に至っては京大に入りたいから農学部を受けたという知り合いもいるくらい最低点は低かったようです。理学部で５５０点くらいで、農学部は４５０点くらいだった印象があります。ちなみに医学部は６００点を超えていて、工学部は５６０点くらいから４５０点くらいまで、学科に難易度の差がありました。理学部ではほとんどの学生が物理、数学志望で、湯川秀樹などのノーベル賞受賞の影響や広中平祐フィールズ賞受賞の影響が強かったのでないかと思います。

　

　

数学の授業

　予備校の授業の印象と言えば、テキストの問題を解説していくことが中心というか、それがすべてのような印象です。高校でも、今の時期は夏期講習期間として、数学では、タイトルはいろいろあるものの、形式は問題を集めた冊子の問題解答解説がほとんどです。そんなものかなと思いながらも、経験を積むにしたがって、その形式に疑問を感じることが多くなってきました。

　ある時期、1990年代頃からでしょうか、母校京大などでは高校生向けや一般向けの数学講座が開かれて、夏休みや冬休みにそれに参加してきました。当時の上野健爾教授によるボランティアともいえる手弁当での講座でした。余りにも受験的な高校数学教育への警鐘を鳴らす意味もあったのかと感じるとともに、高校数学教育に携わる者として、大きなショックを受けるとともに、数学教師としての自らのあるべき姿を考えさせられました。

　そんな縁もあって、その後、勤めていた高校へ上野先生が講演に来ていただき、生徒向けに貴重な講演をしていただきました。当時、教育基本法の改定の時期で数学のみならず、教育全般にかかわっての先生の講演内容でした。当日は県教育委員会からもたくさん参加して、会場の体育館は満席の盛況でした。ある先輩の先生は、「よく上野先生が来てくれたなあ」と感心していました。先生の気さくな性格に便乗して、京大での数学講座に参加した際に、無礼にもエレベータの中でお願いしたことをいまだに恥ずかしく思い出しますが、それにつけても数学者だけでなく、教育者としての上野先生の姿勢には頭を下げる以外ありません。学生時代は上野先生の講義は受けたことはないのですが、知り合いの数学者に聞いても、上野先生は秀才だといわれていますが、代数幾何の分野で、日本で最初にフィールズ賞を受賞した小平邦彦先生の小平スクールの系譜にあり、同じ代数幾何の数学者の飯高茂先生などとともに、世界的な代数幾何学者としてその名は世界に知られています。私の大学時代には直接先生の講義を受ける機会はありませんでしたが、たぶんそのころにちょうど京大に来られたとは思います。
　実は、飯高茂先生にも以前、地元の三重県で高校の数学教員向けに講演をしていただいたことがあります。１９９０年頃の当時、三重県の高等学校数学教育研究会で飯高先生の言講演を依頼して、講演のテーマをどうするかで研究会で話していて、ある教員がコンピュータの話をと提案したのですが、せっかく代数幾何の世界的な数学者に来ていたくというのだから、先生の専門に関して、高校教員にもわかる範囲での代数幾何の分類につての話をしていただくことになりました。土曜日の午後に講演していただき、日曜は、お前が先生を松阪でも案内しろと言われ、本居記念館を案内した覚えがあります。先生を案内すると数学の話題になった時、ついていけないからお前がやれと言われ、何とも言えない気分でした。それでも、素朴な気持ちで、いろいろ先生にお話しする中で、短い時間の中でも貴重なお話をきかせていただきました。その際、少し前に発刊された岩波の基礎数学講座の「代数幾何」の本にサインをして頂きました。先生の書かれた日付が1日間違っていたので、それを指摘したら、昨日の日付に1日足したが、昨日の日付そのものが間違っていましたという先生の言葉に思わず吹き出してしまいました。これが当時のサインです。

　さて、たとえ高校生向けの講座であっても、講師の先生（数学者）は、あるテーマに従って、数回分のまとまった講義をして、講義録も配布するなど、高校や予備校での数学の講義とは一線を画すというものです。そこには、テーマに従って、数学のストーリーがあり、それを聞きながら、頭で考えながら、書きながらの数学のシャワーを浴びている状況です。終了後のすっきり感と見通しの良い道があることの実感は特別な感覚です。高校や予備校での数学の授業でもそんなストーリーのある講義をしてみたいと思いがだんだんと強くなってきました。

　最近の大学の講義では、講義録もウエブ上で公開されたりして、私の大学時代とは違って、非常に親切になって来ています。パソコンで原稿を書くようになり、Texで書くことで、きれいに早く原稿が書けるようになったのも、その大きな要因といえます。私も遅ればせながら1999年から本格的にTexで原稿を書くことになりましたが、もう20年以上になりますね。その割には進歩が少ないのが残念です。

　実際の授業ではなかなか講義録を作るまでは出来ていませんが、春休みや夏休みの特別講座では、その講義録を作るようにしています。上記のこれまでの経験等を踏まえ、ストーリーのある講義を心がけ、問題を解くことは数学的な概念を理解するためのものであるという基本的なスタンスと大切にして、問題演習のための問題演習にならないように心掛けています。

　でも普段の予備校の講義では、なかなか講義録を作る余裕もないのですが、気になった事柄に関してはノートに問題を解く中で、別途調べたりしながら、原稿を書いたりしています。講義を一つするたびに何かしら気になる数学的な事柄があり、そのことは大事にして、それが自らの課題と思っています。

　昨日の講義のために意識していたのが、数学Ⅲの教科書にある2次曲線の内容で、教科書では配列の関係で微分は使えないという制約のため、2次曲線の接線の公式が証明されずに「知られている」という、高校の数学の教科書で逃げに使われる言葉で記述されています。私は、そこで、合成関数の微分をその場で生徒に証明して、そこから接線の方程式を導くことにしていますが、その合成関数の微分の公式の証明にΔz/Δｘ＝(Δｚ/Δｙ)×（Δｙ/Δｘ）を使うと簡単に証明できますが、そこでは、Δｙ＝0の場合のことが欠けていて厳密性に欠けるので、どうすればいいのか、いろいろ微積分の教科書を調べてみます。こんな状況はよくあり、こんな時が一番楽しい時間でもあります。微積分の教科書もたくさんある中で、いろいろ調べてみると数学者の思いがそこには反映されていたりして、それを垣間見ることでの楽しさもあります。今回調べた本で一番親切な解説だったのが、以下の斎藤先生の本です。

特にこの本では、この合成関数の微分公式の証明にランダウの記号が使われていたりして、分かりやすく、いろいろ工夫がある本です。今後もお世話になる本だと思います。

また、一様連続の説明のところも分かりやすく、このところカバンに入れて持ち歩いています。また、空間ベクトルの所で、外積や平面の方程式などを生徒に説明するときには、大学１年の時の教科書で、滝沢精二先生の「最新 代数学と幾何学」をいつも参考にしています。

　右側が軽装版の大学１回生の時の本ですが、背表紙が擦り切れて、ボンドで補修していますが、使いにくく、左の上製本の同じ本を使っています。この本では、付録の記述に参考にさせてもらうことも多く、代数学の基本定理の証明や対称式、交代式のことなど、高校の数学教育でも言及することが多い内容に関して、参考になることが多くあります。また、空間における直線の方程式の説明でも、教員として参考になることがあり、いつも座右において参考にさせていただいています。当時１回生の時、数学２という科目での線形代数の授業だったのですが、この教科書を使って、担当の先生は、この本の著者と同じ微分幾何が専門の松本誠教授でしたが、非常に誠実な先生で板書も綺麗で、たまに話していただく雑談では矢野健太郎の話が今も頭に残っています。