コンピュータによる数値積分について整理。
●原始関数を求めることができない数値積分は、関数値と重み係数の積の形で表されることになる。
○例えば、台形公式の両端であれば、重み係数は 刻み幅×0.5 となる。
●Newton-Cotesの公式
○ｎ＋１点の等間隔：ｎ次補間
（２点：１次補間→台形の公式）
（３点：２次補間→Simpsonの公式）
○Euler-Maclaurinの公式によって、周期関数に対しては台形公式の積分が高精度であることが示される。
○森正武：数値解析 第2版、共立出版、pp.183-189（2002）
○Masatake Mori : On the Superiority of the Trapezoidal Rule for the Integration of Periodic Analytic Functions, Memoirs of Numerical Mathematics, No.1, pp.11-19 (1974) → 日本応用数理学会（PDF）
○無限区間の解析関数の積分に対しても台形公式の積分は高精度である。
Hidetosi Takahasi, Masatake Mori : Error estimation in the numerical integration of analytic functions, Report of the Computer Centre, University of Tokyo, No3, pp.41-108 (1970)
●Gauss–Legendreの公式
○ｎ＋１点の間隔を未知数として、２ｎ＋１次多項式まで計算可能。
●Romberg積分
○台形の公式と級数の加速法の組み合わせ。感覚的にはEuler変換に似ている。
○Euler-Maclaurinの公式によって、積分の真値と台形の公式の関係が導かれる。
○森正武：数値解析 第2版、共立出版、pp.189-194（2002）
○台形の公式に加算する項に含まれる微分を、差分によって近似することを繰り返す。（補外法）
○差分の初期値を積分区間とすれば、繰り返しで真値に近づく。
○積分区間の両端が特異点（微分が無限大になる）等の場合は精度が良くない。
○重み係数は、高速フーリエ変換のようにインデックス値のビット順序反転値を求めることで条件分岐可能。
●二重指数関数型数値積分公式
○Hidetosi Takahasi, Masatake Mori : Double Exponential Formulas for Numerical Integration, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Vol.9, No.3, pp.721-741 (1974) → J-STAGE（PDF）
○Masaaki Sugihara : Optimality of the double exponential formula -functional analysis approach-, Numerische Mathematik, Vol.75, No.3, oo.379-395 (1997) → Springer
また、時間軸に対する積分には、微分方程式の解法から由来する、以下の名の手法がある。
（整理中）
●Runge-Kutta法
○２段→Heun法、修正Euler法
●Gear法
●原始関数を求めることができない数値積分は、関数値と重み係数の積の形で表されることになる。
○例えば、台形公式の両端であれば、重み係数は 刻み幅×0.5 となる。
●Newton-Cotesの公式
○ｎ＋１点の等間隔：ｎ次補間
（２点：１次補間→台形の公式）
（３点：２次補間→Simpsonの公式）
○Euler-Maclaurinの公式によって、周期関数に対しては台形公式の積分が高精度であることが示される。
○森正武：数値解析 第2版、共立出版、pp.183-189（2002）
○Masatake Mori : On the Superiority of the Trapezoidal Rule for the Integration of Periodic Analytic Functions, Memoirs of Numerical Mathematics, No.1, pp.11-19 (1974) → 日本応用数理学会（PDF）
○無限区間の解析関数の積分に対しても台形公式の積分は高精度である。
Hidetosi Takahasi, Masatake Mori : Error estimation in the numerical integration of analytic functions, Report of the Computer Centre, University of Tokyo, No3, pp.41-108 (1970)
●Gauss–Legendreの公式
○ｎ＋１点の間隔を未知数として、２ｎ＋１次多項式まで計算可能。
●Romberg積分
○台形の公式と級数の加速法の組み合わせ。感覚的にはEuler変換に似ている。
○Euler-Maclaurinの公式によって、積分の真値と台形の公式の関係が導かれる。
○森正武：数値解析 第2版、共立出版、pp.189-194（2002）
○台形の公式に加算する項に含まれる微分を、差分によって近似することを繰り返す。（補外法）
○差分の初期値を積分区間とすれば、繰り返しで真値に近づく。
○積分区間の両端が特異点（微分が無限大になる）等の場合は精度が良くない。
○重み係数は、高速フーリエ変換のようにインデックス値のビット順序反転値を求めることで条件分岐可能。
●二重指数関数型数値積分公式
○Hidetosi Takahasi, Masatake Mori : Double Exponential Formulas for Numerical Integration, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Vol.9, No.3, pp.721-741 (1974) → J-STAGE（PDF）
○Masaaki Sugihara : Optimality of the double exponential formula -functional analysis approach-, Numerische Mathematik, Vol.75, No.3, oo.379-395 (1997) → Springer
また、時間軸に対する積分には、微分方程式の解法から由来する、以下の名の手法がある。
（整理中）
●Runge-Kutta法
○２段→Heun法、修正Euler法
●Gear法