エムデン方程式の具体的な形

水素の場合をexcelで計算してグラフに描いた。

球対称で平衡状態にある星(自己重力ガス球)の構造は、密度と圧力の間にポリトロピック関係が成り立つとした場合に次のレーン-エムデン方程式 (Lane-Emden equation) であらわされる。ガス球が水素からできている(単原子理想気体)とするとɤ=5/3 (N=3/2) となる。と、ここまでは、教科書[1]に書いてある話。

では、具体的にはどうなるかを計算してみた。
N=3/2の場合のLane-Emden equationをMaximaを使って変形して、Dの二階微分をDとDの微分であらわすとこうなる。

これをスプレッドシートでオイラー法を使って数値的解くとこんな感じ。より分かりやすく、Dを圧力Pと密度ρに読み替えてみた。


[1] 福江 純・和田桂一・梅村雅之、宇宙流体力学の基礎 (日本評論社、2014)